2025年高考物理大力士和歐拉的公式

　　[趣味物理]大力士和歐拉的公式

　　你記得儒勒·凡爾納書里的競技大力士馬蒂夫嗎？“頭大身高，胸膛像鐵匠的風囊，腿像粗壯的木柱，胳膊像起重機，拳頭像鐵錘……”這位大力士的功勞在《馬蒂斯·桑多爾夫》這部小說里敘述得很多，可是使讀者印象最深的，大概是他用手拉住一條正在下水的船“特拉波科羅”號這件事。

　　關(guān)于這件事，小說的作者是這樣告訴我們的：

　　已經(jīng)移去了在兩旁撐住船身的支持物，船準備下水了。只要把纜索解開，船就會滑下去。已經(jīng)有五六個木工在船的龍骨底下忙著。觀眾滿懷著好奇心注視著這件工作。這時候，卻有一只快艇繞過岸邊凸出的地方，出現(xiàn)在人們的眼前。原來這只快艇要進港口，必須經(jīng)過“特拉波科羅”號準備下水的船塢前面。所以，一聽見快艇發(fā)出信號，大船上的人為了避免發(fā)生意外，就停止了解纜下水的操作，讓快艇先過去。假使這兩條船，一條橫著，另一條用極高的速度沖過去，快艇一定會被撞沉的。

　　工人們停止了捶擊。所有的眼睛全都注視著這只華麗的船。船上的白色篷帆在斜陽下像鍍了金一樣。快艇很快就出現(xiàn)在船塢的正前面。船塢上成千的人都出神地看著它。突然聽到一聲驚呼，“特拉波科羅”號正當快艇的右舷對著它的時候，開始搖擺著滑下去了。兩條船就要相撞了。已經(jīng)沒有時間、沒有方法能夠防止這場慘禍了。“特拉波科羅”號很快地斜著向下面滑去……船頭上卷起了因摩擦而起的白霧，船尾已經(jīng)沒入了水。

　　突然出現(xiàn)了一個人，他抓住了掛在“特拉波科羅”號前部的纜索，用力地拉，幾乎把身子彎得接近了地面。不到1分鐘，他已經(jīng)把纜索繞在打在地里的鐵樁上。他冒著被摔死的危險，用超人的氣力，用手拉住纜索大約有40秒鐘。最后，纜索斷了�？墒沁@40秒鐘時間已經(jīng)很足夠：“特拉波科羅”號進水以后，只輕微地擦了一下快艇，就向前駛了開去。

　　快艇已經(jīng)脫了險。至于這個使這件發(fā)生得很快的意外事件沒有造成慘禍的人──當時甚至別人來不及幫助他──就是馬蒂夫。

　　假使小說的作者聽到說，這樣的功勞并不需要一個像馬蒂夫那樣的“力大如虎”的巨人，而是每一個機智的人都能干的話，那他一定會非常驚奇。

　　力學告訴我們，纏在樁上的繩索，在滑動的時候，摩擦力可以達到極大的程度。繩索繞的圈數(shù)越多，摩擦力也就越大。摩擦力增長的規(guī)律是：如果因數(shù)按照算術(shù)級數(shù)加多，摩擦力就按照幾何級數(shù)增長。所以就是一個小孩子，只要能把繩索在一個不動的轆轤上繞三四圈，然后抓住繩頭，他的力量就能平衡一個極大的重物。在河邊的輪船碼頭上，常常有一些少年，就用這個方法使載著幾百個乘客的輪船靠碼頭。原來在這里幫助他們的，并不是他們異常的臂力，而是繩和樁子之間的摩擦力。

　　18世紀，著名數(shù)學家歐拉曾經(jīng)確定了摩擦力跟繩索繞在樁子上的圈數(shù)之間的關(guān)系。我現(xiàn)在把歐拉的有用的公式引在下面，給那些不怕簡潔的代數(shù)語言的讀者參考：

　　F＝feka

　　在這個公式里，f代表我們所用的力，F(xiàn)代表我們所要對抗的力。e代表數(shù)2．718……（自然對數(shù)的底），k代表繩和樁子之間的摩擦系數(shù)。a代表繞轉(zhuǎn)角，也就是繩索繞成的弧的長度跟弧的半徑的比。

　　把這個公式應(yīng)用在儒勒·凡爾納的故事里，所得的結(jié)果非常使人吃驚。這里，力F是沿著船塢滑下去的船對纜索的拉力。從小說里我們知道，船重50噸。假定船塢的坡度是1／10，那么，作用在纜索上的就不是船的全重，而是全重的1／10，也就是5噸或5000千克。

　　再說，把k──纜索和鐵樁之間的摩擦系數(shù)──的數(shù)值算做1／3。a的數(shù)值是不難計算的。如果我們假定馬蒂夫曾經(jīng)把纜索繞樁3圈。這時候：

　　a=(3×2πr)／r=6π

　　把這些數(shù)值代進歐拉的公式，就可以得到：

　　5000＝f×2．726π×（1／3）＋＝f×2．722π

　　未知數(shù)（就是需要的人力）可以用對數(shù)求出來：

　　log5000＝logf＋2πlog2．72得到f＝9．3千克=93牛

　　因此，這個大力士只要用93牛頓的力就可以把纜索拉住，立下這次大功了！你別以為這個數(shù)值──93牛──不過是理論上的，實際需要的一定比這大得多。恰恰相反，這個數(shù)對我們說來已經(jīng)太大了：古時候用來系船的是麻繩和木樁，在這兩種東西之間，摩擦系數(shù)k比上面所用的數(shù)值更大，所以所需要的力簡直小得可笑。只要繩索夠牢，吃得住拉力，就是力氣小的孩子，把它套在樁上繞三四圈以后，也能同樣立下這個儒勒·凡爾納小說里的大力士所立的功勞，或者還能勝過他哩。

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