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高考數(shù)學(xué):集合與常用邏輯的復(fù)習(xí)

2019-12-31 15:32:05高考網(wǎng)整理

  集合

  1.集合的含義與表示

 。1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系

 。2)能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題。

  2.集合間的基本關(guān)系

  (1)理解集合之間包含于相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集

 。2)在具體的情境中,了解全集與空集的含義

  3.集合的基本運(yùn)算

 。1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集

 。2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集

 。3)能使用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

  常用邏輯用語(yǔ)

  1.命題及其關(guān)系

 。1)理解命題的概念

 。2)了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題、與逆否命題,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系

  (3)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義

  2.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

  了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義

  3.全稱量詞與存在量詞

 。1)理解全稱量詞和存在量詞的含義

  (2)能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定

  考題分析

  高考對(duì)集合的考查主要集中在集合的運(yùn)算與集合間關(guān)系的判定與應(yīng)用,常用邏輯用語(yǔ)考查知識(shí)面十分廣泛,可以涵蓋函數(shù)、立體幾何、不等式、向量、三角函數(shù)等內(nèi)容?疾榈男问蕉酁檫x擇題,難度不大,但需掌握基本知識(shí)與方法。

  集合的概念與表示

  集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念,是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有無(wú)可比擬的特殊重要性。在數(shù)學(xué)的《課標(biāo)》中,要求學(xué)生掌握理解集合的概念,知道常用數(shù)集的概念及表示方法。

  集合的概念

  1.集合:一般地我們把一些能夠確定的不同對(duì)象的全體稱為集合(簡(jiǎn)稱集);

  集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示,如A、B、C、……。

  2.元素:集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素,元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示,如a、b、c、……。

  元素與集合的關(guān)系

  1.屬于:如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于A,記作a∈A

  2.不屬于:如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于A,記作 3、集合分類(lèi)根據(jù)集合所

  集合中元素的特性

  1.確定性:給定一個(gè)集合,任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的了。

  任何一個(gè)元素要么屬于該集合,要么不屬于該集合,二者必具其一。

  2.互異性:集合中的元素一定是不同的。

  3.無(wú)序性:集合中的元素沒(méi)有固定的順序。

  集合的分類(lèi)

  根據(jù)所含元素個(gè)數(shù)不同,可把集合分為如下幾類(lèi):

  1.把不含任何元素的集合叫做空集Ф

  2.含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集

  3.含有無(wú)窮個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集

  常用數(shù)集及其表示方法

  1.非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):全體非負(fù)整數(shù)的集合,記作N 。

  2.正整數(shù)集:非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集,記作N*或N+ 。

  3.整數(shù)集:全體整數(shù)的集合,記作Z 。

  4.有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合,記作Q 。

  5.實(shí)數(shù)集:全體實(shí)數(shù)的集合,記作R。

  集合間的基本關(guān)系

  集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念,由一個(gè)或多個(gè)確定的元素所構(gòu)成的整體叫做集合,若x是集合A的元素,則記作x∈A。

  集合與集合的關(guān)系有“包含”與“不包含”,“相等”三種:

  1.子集概念:

  一般地,對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,就說(shuō)集合B包含A,記作A ?B(或說(shuō)A包含于B);

  也可記為B ?A(B包含A),此時(shí)說(shuō)A是B的子集;A不是B的子集,記作A ?

  B,讀作A不包含于B。

  2.集合相等:

  對(duì)于集合A和B,如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B的元素,反過(guò)來(lái),集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素,即集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,我么就說(shuō)集合A和集合B相等,記作A=B。

  3.真子集:

  對(duì)于集合A與B,如果A?B并且A≠B,則集合A是集合B的真子集,記作A?B(B?A),讀作A真包含于B(B真包含A)。

  集合間基本關(guān)系

  1.性質(zhì)1:

 。1)空集是任何集合的子集,即A;

 。2)空集是任何非空集合的真子集;

  (3)傳遞性:A?B,B?C?A?C;A?B,B?C?A?C

 。4)集合相等:A?B,B?A?A=B

 。5)含n個(gè)元素的集合A的子集有2n個(gè),非空子集有2n-1個(gè),非空真子集有2n-2個(gè)。

  命題

  命題分類(lèi)亞里士多德在《工具論》,特別是其中的《范疇篇》中,研究了命題的不同形式及其相互關(guān)系,根據(jù)形式的不同對(duì)命題的不同類(lèi)型進(jìn)行了分類(lèi)。亞里士多德把命題首先分為簡(jiǎn)單的和復(fù)合的兩類(lèi),但他對(duì) 復(fù)合命題并沒(méi)有深入探討。他進(jìn)而把簡(jiǎn)單命題按質(zhì)分為肯定的和否定的,按量分為全稱、特稱和不定的命題,例如,"愉快不是善"。他還提到個(gè)體命題,這相當(dāng)于后來(lái)所謂的以專名為主項(xiàng)、以普遍概念為 謂項(xiàng)的單稱命題。

  亞里士多德著重討論了后人以A、E、I、O為代表的4種命題。他所舉出的例子是:"每個(gè)人是白的";"沒(méi)有人是白的";"有人是白的";"并非每個(gè)人是白的"。關(guān)于 模態(tài)命題,他討論了必然、不可能、可能和偶然這 4個(gè)模態(tài)詞。亞里士多德所說(shuō)的模態(tài),是指事件發(fā)生的必然性、可能性等。

  亞里士多德以后的邏輯學(xué)家,如泰奧弗拉斯多、 麥加拉學(xué)派和 斯多阿學(xué)派的邏輯學(xué)家,以及中世紀(jì)的邏輯學(xué)家等,又對(duì)包含有命題聯(lián)結(jié)詞"或者"、"并且"、"如果,則"等的復(fù)合命題進(jìn)行了不斷的探討,從而豐富了邏輯學(xué)關(guān)于命題的學(xué)說(shuō)。

  傳統(tǒng)邏輯分類(lèi)

  19世紀(jì)下半葉歐洲邏輯讀本對(duì)命題的分類(lèi)不盡一致。大體說(shuō)來(lái),按關(guān)系即按命題主謂項(xiàng)之間的關(guān)系分,有 直言命題、 假言命題(后件主謂項(xiàng)的聯(lián)系以前件為條件)和 選言命題(謂項(xiàng)之間對(duì) 主項(xiàng)有選擇關(guān)系)。從質(zhì)的角度分,有肯定命題和否定命題。從量的角度分,有全稱命題,包括單稱命題、普遍命題(凡S是P)和 特稱命題。

  這些讀本還討論了其他一些關(guān)于數(shù)量多少的命題,如涉及"多數(shù)"、"少數(shù)"之類(lèi)的命題;并認(rèn)為,"多數(shù) S是P"等值于"少數(shù)S不是P","少數(shù) S是P"等值于"多數(shù)S不是P"。因此,從"所有S是P"推不出"多數(shù)S是P",也推不出"少數(shù)S是P"。這些傳統(tǒng)邏輯讀本在討論選言命題時(shí),也往往論及 聯(lián)言命題、分離命題(非A并且非B)等。另外,還有一類(lèi)可解析命題也是常常提到的。在這類(lèi)命題中,有一種叫區(qū)別命題,其形式為"只有S才是P";還有一種叫除外命題,其形式為"除是M的S外每個(gè)S是P"。

  命題的四種形式

  1.對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和 結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題,其中一個(gè)命題叫做原命題,另外一個(gè)命題叫做原命題的 逆命題。

  2.對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定,那么這兩個(gè)命題叫做互否命題,其中一個(gè)命題叫做原命題,另外一個(gè)命題叫做原命題的 否命題。

  3.對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定,那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題,其中一個(gè)命題叫做 原命題,另外一個(gè)命題叫做原命題的 逆否命題。

  相互關(guān)系

  1.四種命題的相互關(guān)系:原命題與逆命題互逆,否命題與原命題互否,原命題與逆否命題相互逆否,逆命題與否命題相互逆否,逆命題與逆否命題互否,逆否命題與否命題互逆。

  2.四種命題的真假關(guān)系:

 。1)兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性。

  (2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系(原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假)

 。3)能夠判斷真假的 陳述句叫做命題,正確的命題叫做 真命題,錯(cuò)誤的命題叫做 假命題。

 。4)“若p,則q”形式的命題中p叫做命題的 條件,q叫做命題的 結(jié)論。

  3.命題的分類(lèi):

  ①原命題:一個(gè)命題的本身稱之為原命題,如:若x>1,則f(x)=(x-1)^2單調(diào)遞增。

  ② 逆命題:將原命題的條件和結(jié)論顛倒的新命題,如:若f(x)=(x-1)^2單調(diào)遞增,則x>1。

 、 否命題:將原命題的條件和

  結(jié)論全否定的新命題,但不改變條件和結(jié)論的順序,如:若x<=1,則f(x)=(x-1)^2不單調(diào)遞增。

  ④ 逆否命題:將原命題的條件和結(jié)論顛倒,然后再將條件和結(jié)論全否定的新命題,如:若f(x)=(x-1)^2不單調(diào)遞增,則x<=1。

  4.命題的否定命題的否定是只將命題的結(jié)論否定的新命題,這與否命題不同。

  邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”

  或(∨)

  1.用聯(lián)結(jié)詞“或”把p與q聯(lián)結(jié)起來(lái)稱為一個(gè)新命題,記作p∨q,讀作“p或q”。

  2.命題p∨q的真假的判定:

  當(dāng)兩個(gè)命題p和q其中有一個(gè)是真命題時(shí),形成的新命題p或q就是真命題。

  當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是假命題時(shí),形成的新命題p或q就是假命題。

  且(∧)

  1.用聯(lián)結(jié)詞“且”把p與q聯(lián)結(jié)起來(lái)稱為一個(gè)新命題,記作p∧q,讀作“p且q”。

  2.命題p∧q的真假的判定:

  當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是真命題時(shí),形成的新命題p且q就是真命題。

  如果兩個(gè)命題p和q其中有一個(gè)是假命題,形成的新命題p且q就是假命題。

  非(┐)

  1.對(duì)于一個(gè)命題p如果僅將它的結(jié)論否定,就得到一個(gè)新命題,記作┐p,讀作“非p”。

  2.命題┐p的真假的判定:

  在命題和他的非命題中,有一個(gè)且只有一個(gè)是真命題。

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