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高三數(shù)學(xué)教案:《簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃》教學(xué)設(shè)計(jì)

來(lái)源:精品學(xué)習(xí)網(wǎng) 2018-11-14 11:03:35

  本文題目:高三數(shù)學(xué)教案:簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

  ●知識(shí)梳理

  1.二元一次不等式表示平面區(qū)域

  在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線Ax+By+C=0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P(x0,y0).

  B>0時(shí),①Ax0+By0+C>0,則點(diǎn)P(x0,y0)在直線的上方;②Ax0+By0+C<0,則點(diǎn)P(x0,y0)在直線的下方.

  對(duì)于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0),無(wú)論B為正值還是負(fù)值,我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù).

  當(dāng)B>0時(shí),①Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域;②Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域.

  2.線性規(guī)劃

  求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.

  滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域);使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實(shí)際中有許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問(wèn)題.

  線性規(guī)劃問(wèn)題一般用圖解法,其步驟如下:

  (1)根據(jù)題意,設(shè)出變量x、y;

  (2)找出線性約束條件;

  (3)確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y);

  (4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域);

  (5)利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f(x,y)=t(t為參數(shù));

  (6)觀察圖形,找到直線f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以確定最優(yōu)解,給出答案.

  ●點(diǎn)擊雙基

  1.下列命題中正確的是

  A.點(diǎn)(0,0)在區(qū)域x+y≥0內(nèi)

  B.點(diǎn)(0,0)在區(qū)域x+y+1<0內(nèi)

  C.點(diǎn)(1,0)在區(qū)域y>2x內(nèi)

  D.點(diǎn)(0,1)在區(qū)域x-y+1>0內(nèi)

  解析:將(0,0)代入x+y≥0,成立.

  答案:A

  2.(2005年海淀區(qū)期末練習(xí)題)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足

  (x-y+1)(x+y-4)≥0,

  x≥3,

  A. B. C. D.10

  解析:數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)x=3,y=1時(shí),x2+y2的最小值為10.

  答案:D

  2x-y+1≥0,

  x-2y-1≤0,

  x+y≤1

  A.正三角形及其內(nèi)部

  B.等腰三角形及其內(nèi)部

  C.在第一象限內(nèi)的一個(gè)無(wú)界區(qū)域

  D.不包含第一象限內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)有界區(qū)域

  解析:將(0,0)代入不等式組適合C,不對(duì);將( , )代入不等式組適合D,不對(duì);又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關(guān)于y=x對(duì)稱且所夾頂角α滿足

  tanα= = .

  ∴α≠ .

  答案:B

  4.點(diǎn)(-2,t)在直線2x-3y+6=0的上方,則t的取值范圍是________________.

  解析:(-2,t)在2x-3y+6=0的上方,則2×(-2)-3t+6<0,解得t> .

  答案:t>

  5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))共有____________個(gè).

  解析:(1,1),(1,2),(2,1),共3個(gè).

  答案:3

  ●典例剖析

  【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積.

  剖析:依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域,再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積.

  解:|x-1|+|y-1|≤2可化為

  x≥1, x≥1, x≤1, x≤1,

  y≥1, y≤1, y≥1, y≤1,

  x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

  其平面區(qū)域如圖.

  ∴面積S= ×4×4=8.

  評(píng)述:畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確,要注意邊界.

  深化拓展

  若再求:① ;② 的值域,你會(huì)做嗎?

  答案: ①(-∞,- ]∪[ ,+∞);②[1,5].

  【例2】 某人上午7時(shí),乘摩托艇以勻速v n mile/h(4≤v≤20)從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去,然后乘汽車以勻速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市.設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時(shí)間分別是x h、y h.

  (1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;

  (2)如果已知所需的經(jīng)費(fèi)

  p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元),

  那么v、w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)?此時(shí)需花費(fèi)多少元?

  剖析:由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影響花費(fèi)的是3x+2y的取值范圍.

  解:(1)依題意得v= ,w= ,4≤v≤20,30≤w≤100.

  ∴3≤x≤10, ≤y≤ . ①

  由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14個(gè)小時(shí)之間,即9≤x+y≤14.②

  因此,滿足①②的點(diǎn)(x,y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).

  (2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y),

  ∴3x+2y=131-p.

  設(shè)131-p=k,那么當(dāng)k最大時(shí),p最小.在通過(guò)圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為- 的直線3x+2y=k中,使k值最大的直線必通過(guò)點(diǎn)(10,4),即當(dāng)x=10,y=4時(shí),p最小.

  此時(shí),v=12.5,w=30,p的最小值為93元.

  評(píng)述:線性規(guī)劃問(wèn)題首先要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出表達(dá)約束條件的不等式.然后分析要求量的幾何意義.

  【例3】 某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車,有9名駕駛員.此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元,乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元.問(wèn)每天派出甲型車與乙型車各多少輛,車隊(duì)所花成本費(fèi)最低?

  剖析:弄清題意,明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù),找出它們的約束條件,列出目標(biāo)函數(shù),用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.

  解:設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛,車隊(duì)所花成本費(fèi)為z元,那么

  x+y≤9,

  10×6x+6×8x≥360,

  0≤x≤4,

  0≤y≤7.

  z=252x+160y,

  其中x、y∈N.

  作出不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖.

  作出直線l0:252x+160y=0,把直線l向右上方平移,使其經(jīng)過(guò)可行域上的整點(diǎn),且使在y軸上的截距最小.觀察圖形,可見(jiàn)當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,5)時(shí),滿足上述要求.

  此時(shí),z=252x+160y取得最小值,即x=2,y=5時(shí),zmin=252×2+160×5=1304.

  答:每天派出甲型車2輛,乙型車5輛,車隊(duì)所用成本費(fèi)最低.

  評(píng)述:用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí),求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn),對(duì)作圖精度要求較高,平行直線系f(x,y)=t的斜率要畫準(zhǔn),可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn),最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn).

  ●闖關(guān)訓(xùn)練

  夯實(shí)基礎(chǔ)

  1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________條件.

  A.充分而不必要 B.必要而不充分

  C.充分且必要 D.既不充分也不必要

  解析:數(shù)形結(jié)合.

  答案:B

  2.(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區(qū)域?yàn)?br />
  解析:可轉(zhuǎn)化為

  x+2y+1≥0, x+2y+1≤0,

  x-y+4≤0 x-y+4≥0.

  答案:B

  3.(2004年全國(guó)卷Ⅱ,14)設(shè)x、y滿足約束條件

  x≥0,

  x≥y,

  2x-y≤1,則z=3x+2y的最大值是____________.

  解析:如圖,當(dāng)x=y=1時(shí),zmax=5.

  答案:5

  x-4y+3≤0,

  3x+5y-25≤0,

  x≥1,

  _________.

  解析:作出可行域,如圖.當(dāng)把z看作常數(shù)時(shí),它表示直線y=zx的斜率,因此,當(dāng)直線y=zx過(guò)點(diǎn)A時(shí),z最大;當(dāng)直線y=zx過(guò)點(diǎn)B時(shí),z最小.

  x=1,

  3x+5y-25=0,得A(1, ).

  x-4y+3=0,

  3x+5y-25=0,

  ∴zmax= = ,zmin= .

  答案:

  5.畫出以A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)為頂點(diǎn)的△ABC的區(qū)域(包括各邊),寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組,并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值.

  分析:本例含三個(gè)問(wèn)題:①畫指定區(qū)域;②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式——不等式組; ③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值.

  解:如圖,連結(jié)點(diǎn)A、B、C,則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗蟆鰽BC區(qū)域.

  直線AB的方程為x+2y-1=0,BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0,2x+y-5=0.

  在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P(1,1),分別代入x+2y-1,x-y+2,2x+y-5得x+2y-1>0,x-y+2>0,2x+y-5<0.

  因此所求區(qū)域的不等式組為

  x+2y-1≥0,

  x-y+2≥0,

  2x+y-5≤0.

  作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t(t為參數(shù)),即平移直線y= x,觀察圖形可知:當(dāng)直線y= x- t過(guò)A(3,-1)時(shí),縱截距- t最小.此時(shí)t最大,tmax=3×3-2× (-1)=11;

  當(dāng)直線y= x- t經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,1)時(shí),縱截距- t最大,此時(shí)t有最小值為tmin= 3×(-1)-2×1=-5.

  因此,函數(shù)z=3x-2y在約束條件

  x+2y-1≥0,

  x-y+2≥0,

  2x+y-5≤0

  6.某校伙食長(zhǎng)期以面粉和大米為主食,面食每100 g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位,含淀粉4個(gè)單位,售價(jià)0.5元,米食每100 g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位,含淀粉7個(gè)單位,售價(jià)0.4元,學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯,每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉,問(wèn)應(yīng)如何配制盒飯,才既科學(xué)又費(fèi)用最少?

  解:設(shè)每盒盒飯需要面食x(百克),米食y(百克),

  所需費(fèi)用為S=0.5x+0.4y,且x、y滿足

  6x+3y≥8,

  4x+7y≥10,

  x≥0,

  y≥0,

  由圖可知,直線y=- x+ S過(guò)A( , )時(shí),縱截距 S最小,即S最小.

  故每盒盒飯為面食 百克,米食 百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少.

  培養(yǎng)能力

  7.配制A、B兩種藥劑,需要甲、乙兩種原料,已知配一劑A種藥需甲料3 mg,乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg,乙料4 mg.今有甲料20 mg,乙料25 mg,若A、B兩種藥至少各配一劑,問(wèn)共有多少種配制方法?

  解:設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑(x、y∈N),則

  x≥1,

  y≥1,

  3x+5y≤20,

  5x+4y≤25.

  上述不等式組的解集是以直線x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1).所以,在至少各配一劑的情況下,共有8種不同的配制方法.

  8.某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī),由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動(dòng)力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量,以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大.已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力,通過(guò)調(diào)查,得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

  資 金 單位產(chǎn)品所需資金(百元) 月資金供應(yīng)量(百元)

  空調(diào)機(jī) 洗衣機(jī)

  成 本 30 20 300

  勞動(dòng)力(工資) 5 10 110

  單位利潤(rùn) 6 8

  試問(wèn):怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量,才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大,最大利潤(rùn)是多少?

  解:設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái),總利潤(rùn)是P,則P=6x+8y,由題意有

  30x+20y≤300,

  5x+10y≤110,

  x≥0,

  y≥0,

  x、y均為整數(shù).

  由圖知直線y=- x+ P過(guò)M(4,9)時(shí),縱截距最大.這時(shí)P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96(百元).

  故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺(tái),洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí),可獲得最大利潤(rùn)9600元.

  探究創(chuàng)新

  9.實(shí)系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在(1,2)內(nèi),求:

  (1) 的值域;

  (2)(a-1)2+(b-2)2的值域;

  (3)a+b-3的值域.

  f(0)>0

  f(1)<0

  f(2)>0

  b>0,

  a+b+1<0,

  a+b+2>0.

  如圖所示. A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0).

  又由所要求的量的幾何意義知,值域分別為(1)( ,1);(2)(8,17);(3)(-5,-4).

  ●思悟小結(jié)

  簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛,主要解決的問(wèn)題是:在資源的限制下,如何使用資源來(lái)完成最多的生產(chǎn)任務(wù);或是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的資源來(lái)完成.如常見(jiàn)的任務(wù)安排問(wèn)題、配料問(wèn)題、下料問(wèn)題、布局問(wèn)題、庫(kù)存問(wèn)題,通常解法是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,歸結(jié)為線性規(guī)劃,使用圖解法解決.

  圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí),根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地,可行域可以是封閉的多邊形,也可以是一側(cè)開(kāi)放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的平行直線系,特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)(即邊界線的交點(diǎn))處取得,但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點(diǎn)坐標(biāo)的近似值.它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過(guò)的那一整點(diǎn)的坐標(biāo).

  ●教師下載中心

  教學(xué)點(diǎn)睛

  線性規(guī)劃是新增添的教學(xué)內(nèi)容,應(yīng)予以足夠重視.

  線性規(guī)劃問(wèn)題中的可行域,實(shí)際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域,是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ),因?yàn)樵谥本Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)實(shí)數(shù)Ax+By+C的符號(hào)相同,所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0,y0)〔若原點(diǎn)不在直線上,則取原點(diǎn)(0,0)最簡(jiǎn)便〕,把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C=0,由其值的符號(hào)即可判斷二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線的哪一側(cè).這是教材介紹的方法.

  在求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時(shí),設(shè)ax+by=t,則此直線往右(或左)平移時(shí),t值隨之增大(或減小),要會(huì)在可行域中確定最優(yōu)解.

  解線性規(guī)劃應(yīng)用題步驟:(1)設(shè)出決策變量,找出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù); (2)利用圖象在線性約束條件下找出決策變量,使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大(或最小).

  拓展題例

  【例1】 已知f(x)=px2-q且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范圍.

  解:∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,

  p-q≤-1,

  p-q≥-4,

  4p-q≤5,

  4p-q≥-1.

  求z=9p-q的最值.

  p=0,

  q=1,

  zmin=-1,

  p=3,

  q=7,

  ∴-1≤f(3)≤20.

  【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠,生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的汽車,若A廠每小時(shí)可完成1輛甲型車和2輛乙型車;B廠每小時(shí)可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車,問(wèn)這兩家工廠各工作幾小時(shí),才能使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少?

  解:設(shè)A廠工作x h,B廠工作y h,總工作時(shí)數(shù)為t h,則t=x+y,且x+3y≥40,2x+y≥20,x≥0,y≥0,可行解區(qū)域如圖.而符合問(wèn)題的解為此區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格子點(diǎn)),于是問(wèn)題變?yōu)橐诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi),找出格子點(diǎn)(x,y),使t=x+y的值為最小.

  由圖知當(dāng)直線l:y=-x+t過(guò)Q點(diǎn)時(shí),縱、橫截距t最小,但由于符合題意的解必須是格子點(diǎn),我們還必須看Q點(diǎn)是否是格子點(diǎn).

  x+3y=40,

  2x+y=20,

  得Q(4,12)為格子點(diǎn).

  故A廠工作4 h,B廠工作12 h,可使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少.

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