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高三數(shù)學(xué)教案:《平面向量》教學(xué)設(shè)計(jì)

來源:精品學(xué)習(xí)網(wǎng) 2018-11-14 11:01:45

  本文題目: 高三數(shù)學(xué)教案:平面向量

  【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

  【學(xué)法點(diǎn)撥】


  向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具,它在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐以及其他相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.學(xué)習(xí)和理解向量有關(guān)知識(shí)時(shí),建議:

  1. 注意比較與分析.向量的有關(guān)概念與我們學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)既有聯(lián)系又有區(qū)別,如:平行、相等、乘積等等.留心比較分析,可防止學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)對(duì)現(xiàn)學(xué)知識(shí)的負(fù)面影響.

  2. 能畫圖時(shí)盡可能多畫草圖.數(shù)離形時(shí)少直觀,形離數(shù)時(shí)欠入微.向量具有數(shù)與形的雙重特征,加減法以三角形法則、平行四邊形法則為背景,平行、垂直都對(duì)應(yīng)著一個(gè)方程,數(shù)形結(jié)合考察問題,常常事半功倍.

  3. 學(xué)會(huì)聯(lián)想與化歸.向量知識(shí)是從日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中抽象出來的,求解向量綜合題,常需要適當(dāng)聯(lián)想,并將應(yīng)用問題數(shù)學(xué)化,復(fù)雜問題熟悉化、簡單化.

  【考點(diǎn)指津】

  1. 理解向量的概念,掌握向量的幾何表示,了解共線向量、相等向量等

  概念.

  2.掌握向量的加法與減法,會(huì)正確運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則.

  3掌握向量加法的交換律、結(jié)合律,并會(huì)用它們進(jìn)行向量化簡與計(jì)算.

  4.理解向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算.

  【知識(shí)在線】

  1.(2a+8b)-(4a-2b)=

  2.在△ABC中,BC→ =a, CA→ =b,則AB→ =

  3.設(shè)a表示向東3km,b表示向北偏東30o走3km,則a+b表示的意義為

  4.畫出不共線的任意三個(gè)向量,作圖驗(yàn)證a-b-c=a-(b+c).

  5.向量a、b滿足|a|=8,|b|=10,求|a+b|的最大值、最小值.

  【講練平臺(tái)】

  例1 化簡以下各式:①AB→ +BC→ +CA→ ;②AB→ -AC→ +BD→ -CD→ ;③OA→ -OD→ +AD→ ;④NQ→ +QP→ +MN→ -MP→ .結(jié)果為0的個(gè)數(shù)為             (   )

  A.1   B.2   C.3   D.4

  分析 題設(shè)條件中多處涉及首尾相接的兩個(gè)向量求和以及同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相減,對(duì)此,我們可以運(yùn)用向量加減的定義進(jìn)行合并,當(dāng)最終形式出現(xiàn)兩相反向量之和或相等向量之差時(shí),結(jié)果為0.

  答 D.

  點(diǎn)評(píng) 本題鞏固了向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識(shí).求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式有序化處理,必要時(shí)也可化減為加,減低出錯(cuò)律.注意:AB→ = -BA→ , +CB→ =AB→ .

  變題 作圖驗(yàn)證 A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ =A1An→ (n≥2,n∈N).

  例2 如圖,在ΔABC中,D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),CA→ =3a,CB→ =2b,求CD→ ,CE→ .

  分析 本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中.為此,可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ,根據(jù)AD→ 、AE→ 、AB→ 均為共線向量,故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ,由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .

  解 AB→ =AC→ +CB→ = -3a+2b,

  因D、E為AB→ 的兩個(gè)三等分點(diǎn),

  故AD→ = AB→ =-a+ b =DE→ ,

  CD→ =CA→ +AD→ =3a-a+ b =2a+ b,

  CE→ =CD→ +DE→ =2a+ b-a+ b=a+ b.

  點(diǎn)評(píng) 三角形中兩邊對(duì)應(yīng)向量已知,可求第三邊所對(duì)應(yīng)的向量.值得注意的是,向量的方向不能搞錯(cuò).

  當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成基底向量的代數(shù)式運(yùn)算時(shí),其運(yùn)算過程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行.

  例3 已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn),求證:A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n,使PC→ =mPA→ +nPB→ ,且m+n=1.

  分析 A、B、C 三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件是存在 實(shí)數(shù)λ,使得AC→ =λAB→ .很顯然,題設(shè)條件中向量表達(dá)式并未涉及AC→ 、AB→ ,對(duì)此,我們不妨利用 PC→ =PA→ +AC→ 來轉(zhuǎn)化,以便進(jìn)一步分析求證.

  證明 充分性,由PC→ =mPA→ +nPB→ , m+n=1, 得

  PA→ +AC→ =mPA→ +n(PA→ +AB→ )

  =(m+n)PA→ +nAB→ =PA→ +nAB→ ,

  ∴AC→ =nAB→ .

  ∴A、B、C三點(diǎn)共線.

  必要性:由A、B、C 三點(diǎn)共線知,存在常數(shù)λ,使得AC→ =λAB→ ,

  即 AP→ +PC→ =λ(AP→ +PB→ ).

  PC→ =(λ-1)AP→ +λPB→ =(1-λ)PA→ +λPB→ ,

  m=1-λ,n=λ,m+n=1,

  PC→ =mPA→ +nPB→ .

  點(diǎn)評(píng) 逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則,使得本題的這種證法比其他證法更簡便,值得一提的是,一個(gè)向量拆成兩個(gè)向量的和,一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí).

  變題 在ΔABC 所在平面上有一點(diǎn)P ,滿足PA→ +PB→ +PC→ =AB→ ,試確定點(diǎn) P的位置.

  答:P在 AC邊上,且 P為 AC的一個(gè)三等分點(diǎn)(距 A點(diǎn)較近)

  例4 (1)若點(diǎn) O是三角形ABC的重心,求證:OA→ +OB→ +OC→ =0;(2)若 O為正方形ABCD的中心,求證:OA→ +OB→ +OC→ +OD→ =0;(3)若O 為正五邊形ABCDE 的中心,求證:OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =0.

  若 O為正n邊形A1A2A3…A n的中心,OA1→ +OA2→ +OA3→ +…+OAn→ =0 還成立嗎?說明理由.

  分析 本題四問構(gòu)成一個(gè)題鏈,條件相似,結(jié)論相似,求證方法可望相似.

  正三角形、正方形性質(zhì)特殊,我們十分熟悉,求證方法多,不容易發(fā)現(xiàn)那一種方更有利于推廣,我們選定正五邊形來研究.

  看著結(jié)論,聯(lián)想一個(gè)相似的并且已經(jīng)解決的問題,本課例1的變題A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ +AnA1→ =0 ,這里的向量首尾相接,我們能不能將OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也轉(zhuǎn)化成首尾相接的形式呢?運(yùn)用向量相等的定義試試看.

  解 證(3)以 A為起點(diǎn)作AB′→ =OB→ ,以 B′為起點(diǎn)作B′C′→ =OC→ ,以C′為起點(diǎn)作C′D′→ =OD→ ,以D′為起點(diǎn)作D′E′→ =OE→ .

  ∵∠AOB=72o,

  ∴∠OAB′=108o.

  同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o,故∠D′E′A=108o.

  |OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |,

  故 E′與 O重合,OAB′C′D′為正五邊形.

  OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =OA→ +AB′→ +B′C′→ +C′D′→ +D′E′→ =0.

  正三角形,正方形、正n邊形可類似獲證.

  點(diǎn)評(píng) 本題不僅揭示了正多邊形的一類共同性質(zhì),而且鞏固了“以退為進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想.面對(duì)一般的問題,我們經(jīng)常先考慮其特殊的情況;面對(duì)陌生的問題,經(jīng)常去聯(lián)想熟悉的模型.注意退是為了進(jìn),退到特殊簡單情形后,要在求解中悟出一般的規(guī)律.如退到正方形情況,發(fā)現(xiàn)OA→ +OB→ 與OC→ +OD→ 正好互為相反向量,結(jié)論成立.這一方法卻不具一般性.

  【知能集成】

  1. 基礎(chǔ)知識(shí):向量加減的代數(shù)形式運(yùn)算與幾何形式運(yùn)算.

  2. 基本技能:向量運(yùn)算中的合二為一與拆一為二.

  3. 基本思想:向量表達(dá)式運(yùn)算與幾何式運(yùn)算的相互結(jié)合思想,聯(lián)想熟悉的類似的模型,化歸轉(zhuǎn)化思想.

  【訓(xùn)練反饋】

  1.下列各式正確的是: ( )

  A.∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ B. a+b∣>∣a∣+∣b∣

  C.∣a+b∣>∣a-b∣ D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣

  2.下面式子中不能化簡成AD→ 的是 ( )

  A.OC→ -OA→ +C D→ B.PB→ -DA→ -BP→

  C.AB→ -DC→ +BC→ D.(AD→ -BM→ )+(BC→ -MC→ )

  3.正方形ABCD的邊長為1,AB→ =a,BC→ =b,AC→ =c,則a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分別等于 .

  4.設(shè)a、b 為已知向量,若3x+4y=a,2x-3y=b , 則 x= .

  y= .

  5. 已知 e1、e2 不共線,AB→ =2e1+ke2,CB→ =e1+3e2,C D→ =2e1-e2,且A、B、D 三點(diǎn)在同一條直線上,求實(shí)數(shù)k .

  6.在正六邊形ABCDEF中,O 為中心,若OA→ =a,OE→ =b,用a、b 表示向量OB→ ,OC→ ,OD→ ,結(jié)果分別為 ( )

  A.-b,-b-a,-a B. b,-a,b-a

  C.-b,a,a-b D.-b,-a,a+b

  7. 試用向量方法證明:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

  8.已知P為△ABO 所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足OP→ = ,則P在 ( )

  A.∠AOB的平分線所在直線上 B. 線段AB的中垂線上

  C. AB邊所在的直線上 D. AB邊的中線上.

  9.設(shè)O是平面正多邊形A1A2A3…A n 的中心,P

  為任意點(diǎn),求證:

  PA1→ +PA2→ +PA3→ +…+PAn→ =nPO→ .

  10.如圖設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),PQ∥BC,且PQ→ ∶

  BC→ =2∶3, OA→ =a,OB→ =b,OC→ =c,

  則 OP→ ,OQ→ .

  11.P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),PA→ +PB→ +PC→ =0 ,則P為△ABC的 ( )

  A.重心 B.垂心 C. 內(nèi)心 D.外心

  12.在四邊形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn).求證:EF→ = (AB→

  +DC→ ).

  第30課 向量的坐標(biāo)運(yùn)算

  【考點(diǎn)指津】

  1. 理解平面向量的坐標(biāo)表示法,知道平面向量和一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng).

  2. 掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算,能利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.

  3. 掌握平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示,并利用它解決向量平行(共線)的有關(guān)問題,弄清向量平行和直線平行的區(qū)別.

  【知識(shí)在線】

  1. 若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為 (-2,1),終點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),則向量a的坐標(biāo)為

  2.若O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量a=(-3,4),則與a共線的單位向量為

  3.已知a=(-1,2),b=(1,-2),則a+b與a-b的坐標(biāo)分別為 ( )

  A.(0,0),(-2,4) B.(0,0),(2,-4)

  C.(-2,4),(2,-4) D.(1,-1),(-3,3)

  4.若向量a=(x-2,3),與向量b=(1,y+2)相等,則 ( )

  A. x=I,y=3, B. x=3,y=1

  C. x=1,y=-5 D. x=5,y=-1

  5.已知A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M、N分別為DC、AB的中點(diǎn).

  (1) 求證四邊形ABCD為平行四邊形;

  (2) 試判斷AM→ 、CN→ 是否共線?為什么?

  【講練平臺(tái)】

  例1 已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時(shí),ka+b與a-3b平行?

  分析 已知a、b的坐標(biāo),可求a-3b的坐標(biāo),ka+b的坐標(biāo)也可用含k的表達(dá)式表示.運(yùn)用兩向量平行的充要條件x1y2-x2y1=0可求k值.

  解 由已知a=(1,2),b=(-3,2), 得

  a-3b=(10,-4), ka+b=(k-3,2k+2).

  因(ka+b)∥(a-3b),

  故10(2k+2)+4(k-3)=0.

  得k=- .

  點(diǎn)評(píng) 坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量,其橫坐標(biāo)之和即為和向量的橫坐標(biāo);其縱坐標(biāo)之和即為和向量的縱坐標(biāo).實(shí)數(shù)與向量的積其橫、縱坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與該向量的橫、縱坐標(biāo)的積.

  向量的平行用坐標(biāo)形式表達(dá)即為一個(gè)方程.

  例2 已知向量a=( , ),b=(-1,2),c=(2,-4).求向量d,使2a,-b+ c及4(c-a)與d四個(gè)向量適當(dāng)平移后,能形成一個(gè)順次首尾相接的封閉向量鏈.

  分析 四個(gè)向量適當(dāng)平移后,形成一個(gè)順次首尾相接的封閉向量鏈,說明這四個(gè)向量之和為0.即四個(gè)向量的縱橫坐標(biāo)之和均為0.據(jù)此列出關(guān)于向量d(x,y)的方程組,不難求得x、y.

  簡解 設(shè)向量d的坐標(biāo)為(x,y),由2a+(-b+ c)+4(c-a)+d=0,

  可解得d=(-9,23).

  點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)語言常有多種表達(dá)方式,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與變通是求解的關(guān)鍵.本題以幾何特征語言形式出現(xiàn),最終落足點(diǎn)要變式成方程的語言來求解,這一思想方法在求解向量問題時(shí)經(jīng)常用到.

  例3 已知平面上三點(diǎn)P(2,1),Q(3,-1),R(-1,3).若點(diǎn)S與這三點(diǎn)可以為一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),求S的坐標(biāo).

  分析 平行四邊形對(duì)邊對(duì)應(yīng)向量相等或相反,由此可求得S點(diǎn)的坐標(biāo).但由于題設(shè)四點(diǎn)構(gòu)成四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),那一組邊是對(duì)邊不明顯,需要分類討論.

  簡解 設(shè)S的坐標(biāo)為(x,y).

  (1)當(dāng)PQ→ 與RS→ 是一組對(duì)邊時(shí),

  若PQ→ =RS→ ,則(3,-1)-(2,1)=(x+1,y-3),

  即 (1,-2)=(x+1,y-3),得S點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

  若PQ→ =SR→ ,則S點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5).

  (2)當(dāng)PR→ 與SQ→ 是一組對(duì)邊時(shí),

  若PR→ =SQ→ ,則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,-3).

  若PR→ =QS→ ,則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1).

  (3)當(dāng)PS→ 與RQ→ 是一組對(duì)邊時(shí),

  若PS→ =RQ→ ,則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,-3).

  若PS→ =QR→ ,則S點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,5).

  綜上所述,S點(diǎn)坐標(biāo)可以為(0,1),(6,-3),(-2,5).

  點(diǎn)評(píng) 本題求解需運(yùn)用分類討論思想.上述解法思路自然、條理清晰,但很顯然不是最簡方案,如何數(shù)形結(jié)合,避免重復(fù)勞動(dòng),讀者不妨思考.

  例4 向量PA→ =(k,12),PB→ =(4,5),PC→ =(10,k),當(dāng)k為何值時(shí),A、B、C三點(diǎn)共線.

  分析 三點(diǎn)共線問題前一課已涉及,A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是AB→ =λBC→ ,本題所不同的是向量用坐標(biāo)形式給出,對(duì)此,我們可以將坐標(biāo)代入運(yùn)算.

  解 AB→ =PB→ -PA→ =(4-k,-7),BC→ = PC→ -PB→ =(6,k-5).

  當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí),存在實(shí)數(shù)λ,使得AB→ =λBC→ ,將坐標(biāo)代入,得

  4-k=6λ,且 -7=λ(k-5),

  故(4-k)(k-5)=-42.

  解得k=11,或k=-2.

  點(diǎn)評(píng) 向量的幾何運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可以從不同角度去求解(證)同一個(gè)問題.只不過兩套工具各有適用范圍,即便兩套工具都適用,也可能繁簡不一,應(yīng)用時(shí)要注意前瞻性選擇.

  變題 求證:互不重合的三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的充要條件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).

  證明 必要性(略).

  充分性 若(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),由A、B、C互不重合,得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一個(gè)不為零,不妨設(shè)x3-x1≠0.令x2-x1=λ(x3-x1),若λ=0,則x2-x1=0,此時(shí)y2≠y1(否則A、B重合).而已知等式不成立,故λ≠0.于是(x3-x1)(y2-y1)=λ(x3-x1)(y3-y1).

  因x3-x1≠0 ,故 (y2-y1)=λ(y3-y1).

  于是(x2-x1,y2-y1)=λ(x3-x1,y3-y1),即 AB→ =λAC→ ,且AC→ ≠0 .

  又因AB→ 與AC→ 有相同起點(diǎn),所以A、B、C三點(diǎn)共線.

  【知能集成】

  基礎(chǔ)知識(shí):坐標(biāo)形式的向量的加減運(yùn)算,實(shí)數(shù)與向量坐標(biāo)的積.

  基本技能:向量平行的充要條件及向量相等的充要條件用坐標(biāo)形式描述和應(yīng)用.

  基本思想:將向量等式轉(zhuǎn)化成方程的思想;對(duì)幾何圖形的分類討論思想.

  【訓(xùn)練反饋】

  1.若a=(2,3),b=(4,y-1),且a∥b,則y= ( )

  A.6 B.5 C.7 D. 8

  2.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,n),AB→ 的坐標(biāo)為(i,j),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ( )

  A.(m-i,n-j) B.(i-m,j-n)

  C.(m+i,n+j) D.(m+n,i+j)

  3.若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三點(diǎn)共線,則x= .

  4.已知a=(5,4),b=(3,2),則與2a-3b平行的單位向量為

  5.有下列說法

 、 已知向量PA→ =(x,y),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y);

 、 位置不同的向量,其坐標(biāo)有可能相同;

 、 已知i=(1,0),j=(0,1),a=(3,4),a=3i-4j ;

 、 設(shè)a=(m,n),b=(p,q),則a=b的充要條件為m=p,且n=q.

  其中正確的說法是 ( )

  A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

  6.下列各向量組中,不能作為表示平面內(nèi)所有向量的基底的一組是 ( )

  A.a=(-1,2),b=(0,5) B.a=(1,2),b=(2,1)

  C.a=(2,-1)b=(3,4) D.a=(-2,1),b=(4,-2)

  7.設(shè)a=(-1,2),b=(-1,1),c=(3,-2),用a、b作基底,可將向量c表示為c=pa+qb,則 ( )

  A.p=4, q=1 B.p=1, q=-4 C.p=0 , q=4 D.p=1, q=4

  8.設(shè)i=(1,0),j=(0,1),在平行四邊形ABCD中,AC→ =4i+2j,BD→ =2i+6j,則AB→ 的坐標(biāo)為 .

  9.已知3sinβ=sin(2α+β),α≠kπ+ ,β≠kπ,k∈z,a=(2,tan(α+β)),b=(1,tanα),求證:a∥b.

  10.已知A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y).

  11.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP→ =OA→ +tAB→ .

  (1) 當(dāng)t變化時(shí),點(diǎn)P是否在一條定直線上運(yùn)動(dòng)?

  (2) 當(dāng)t取何值時(shí),點(diǎn)P在y軸上?

  (3) OABP能否成為平行四邊形?若能求出相應(yīng)的t值;若不能,請(qǐng)說明理由.

  第31課 平面向量的數(shù)量積

  【考點(diǎn)指津】

  1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

  2. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題.

  3. 掌握向量垂直的條件.

  【知識(shí)在線】

  1.若∣a∣=4,∣b∣=3,a?b=-6,則a與b的夾角等于 ( )

  A.150o B 120o C.60o D.30 o

  2.若a=(-2,1),b=(1,3),則2a2-a?b= ( )

  A,15 B.11. C.9 D.6

  3.已知向量 i=(1,0),j=(0,1),則與向量2i+j垂直的一個(gè)向量為 ( )

  A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j

  4.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,且c⊥a,則C點(diǎn)坐標(biāo)為

  5.已知∣a∣=3,∣b∣=4,且a與b夾角為60o,∣ka-2b∣=13,求k的值

  【講練平臺(tái)】

  例1 (1)在直角三角形ABC中,∠C=90o,AB=5,AC=4,求AB→ ?BC→

  (2)若a=(3,-4),b=(2,1),試求(a-2b)?(2a+3b)

  分析 (1)中兩向量AB→ 、BC→ 的模及夾角容易求得,故可用公式

  a?b=|a||b|cosθ求解.

  (2)中向量a、b坐標(biāo)已知,可求a2、b2、a?b,也可求a-2b與2a+3b的坐標(biāo),進(jìn)而用(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2求解.

  解(1) 在△ABC中,∠C=90o,AB=5,AC=4,故BC=3,且cos∠ABC= ,AB→ 與BC→ 的夾角θ=π-∠ABC,

  ∴AB→ ?BC→ =-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3× =-9.

  (2)解法一 a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6),

  2a-3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5),

  (a-2b)?(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.

  解法二 (a-2b)?(2a+3b)=2a2-a?b-6b2

  =2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18.

  點(diǎn)評(píng) 向量的數(shù)量積有兩種計(jì)算方法,一是依據(jù)模與夾角來計(jì)算,二是依據(jù)坐標(biāo)來計(jì)算.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇.

  值得注意的是,向量的夾角與向量的方向相關(guān),(1)中∠ABC并非AB→ 與BC→ 的夾角.

  從第(2)問的解法二可以看到,向量數(shù)量積的運(yùn)算律,類似于多項(xiàng)式乘法法則,但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運(yùn)算.如:a?(b+c)=a?b+b?c,而(a?b)c≠a(b?c).

  例2.已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足OA2+BC2=OB2+CA2,試用向量方法證明AB⊥OC .

  分析 要證AB→ ⊥OC→ ,即證AB→ ?OC→ =0,題設(shè)中不涉及AB→ ,我們用AB→ =AO→ +OB→ 代換,于是只需證AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ .至此,我們可以嘗試將已知等式轉(zhuǎn)化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.

  證明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2,即OA→ 2+(BO→ +OC→ )2=OB→ 2+(CO→ +OA→ )2,整理得AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ ,即 OC→ ?(BO→ +OA→ )=0,

  故 OC→ ?AB→ =0.所以 AB→ ⊥OC→ .

  點(diǎn)評(píng) 用向量方法證明垂直問題,通常轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)向量的數(shù)量積為0.本題已知式與求證式中向量的表達(dá)形式不統(tǒng)一,針對(duì)差異進(jìn)行有目標(biāo)的化歸,是求解的關(guān)鍵所在.

  例3.設(shè)OA→ =a=( +1, -1),OB→ =b=( ,3),試求∠AOB及ΔAOB的面積.

  分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a?b,進(jìn)而求得∠AOB(即a與b的夾角),在求到三角形的兩邊及夾角后,可用公式:S= ∣a∣∣b∣sinθ求面積.

  解 設(shè)∠AOB=θ,ΔAOB的面積為S,由已知得:

  ∣OA→ ∣=∣a∣= =2 ,∣OB→ ∣=∣b∣=2 ,

  ∴cosθ= = = .∴θ= .

  又S= ∣a∣∣b∣sinθ= ?2 =2 ,

  即∠AOB= ,ΔAOB的面積為2 .

  點(diǎn)評(píng) 向量的數(shù)量積公式a?b=∣a∣∣b∣cosθ不僅可以用來求數(shù)量積,也可以用來求模與夾角.要注意該公式與三角形的面積公式的區(qū)別.此外,本題的解題方法可適用于更一般的情況(見變題).

  變題 設(shè)ΔABC的面積為S,AB→ =a,AC→ =b,求證S=

  例4.已知a與b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角.

  分析 要求夾角θ,必需求出cosθ;求cosθ需求出a?b與∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具體值).由已知的兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,可以得到∣a∣∣b∣與a?b的關(guān)系.

  解 ∵(a+3b)⊥(7a-5b),(a-4b)⊥(7a-2b),

  ∴ (a+3b)?(7a-5b)=0,

  (a-4b)?(7a-2b)=0.

  即 7a2+16a?b-15b2=0,

  7a2-30a?b+8b2=0.

  兩式相減,得 b2=2a?b.

  故 a2=b2 , 即 ∣a∣=∣b∣.

  ∴cosθ= = .

  ∴θ=60o , a與b的夾角為60o .

  點(diǎn)評(píng) 從基本量思想考慮,似乎沒有具體的a與b,無法求出a與b的夾角,其實(shí)不然,cosθ是一個(gè)a?b與∣a∣∣b∣的比值,并不需要具體分別求出.類似于本題的條件表明,向量的數(shù)量積公式、向量的垂直關(guān)系都揭示了一種數(shù)量積與模的關(guān)系,就此意義而言,它們的本質(zhì)是一致的相通的,可以相互轉(zhuǎn)化和利用.

  在本題求解過程中注意,b2=2a?b不能得出b=2a,同樣a2=b2也不能得到a=±b.

  【知能集成】

  基礎(chǔ)知識(shí):向量數(shù)量積的兩種計(jì)算公式,向量垂直的充要條件.

  基本技能:求向量數(shù)量積、模及向量的夾角,向量垂直問題的論證與求解.

  基本思想:向量表達(dá)式的數(shù)量積與多項(xiàng)式乘法進(jìn)行類比的思想,將線的垂直這一圖形特征轉(zhuǎn)化成方程解決的思想.求向量夾角時(shí)的設(shè)而不求的思想.

  【訓(xùn)練反饋】

  1. 已知 =5,a與b的夾角的正切值為 ,a?b=12,則b的模為( )

  A.4 B.3 C. D.

  2.已知 =2,向量a在單位向量e方向上的投影為- ,則向量a與e向量的夾角為( )

  A.30o B.60o C.120o D.150o

  3.已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),則a?(b?c)為 ( )

  A.34 B.(34,-68) C .-68 D.(-34,68)

  4.邊長為 的正三角形ABC中,設(shè)AB→ =c,BC→ =a,CA→ =b,則a?b+b?c+c?a等于( )

  A. -3 B. 0 C. 1 D. 3

  5.已知a=(1,2),b=(x,1),當(dāng)(a+2b)⊥(2a-b)時(shí),實(shí)數(shù)x的值為 .

  6.已知m=(-5,3),n=(-1,2),當(dāng)(λm+n)⊥(2n+m)時(shí),實(shí)數(shù)λ的值為 .

  7.已知|a|=|b|=1,a與b夾角為90o,c=2a+3b,d=ka-4b,且c⊥d,則k=

  8.已知A、B、C、D是平面上給定的四個(gè)點(diǎn),則AB→ ?CD→ +AC→ ?DB→ +AD→ ?BC→ = .

  9.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),則a與b夾角的余弦值為 .

  10.設(shè)兩向量e1、e2滿足| e1|=2,| e2|=1, e1、e2的夾角為60o,若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

  11.設(shè)向量a=(cos23o,cos67o),b=(cos68o,cos32o),u=a+tb (t∈R).

  (1) 求a?b;

  (2) 求u的模的最小值.

  12.設(shè)a=(1+cosα,sinα), b=(1-cosβ,sinβ), c=(1,0), α∈(0,π),β∈(π,2π),a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2,且θ1-θ2= ,求sin 的值.

  第32課 線段的定比分點(diǎn)、平移

  【考點(diǎn)指津】

  1. 掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并且熟練運(yùn)用.

  2. 掌握平移公式,并能運(yùn)用平移公式化簡函數(shù)解析式.

  3. 理解公式的推導(dǎo)過程,必要時(shí)能回到定義去,用向量運(yùn)算的相關(guān)知識(shí),解決定比分點(diǎn)問題和平移問題.

  【知識(shí)在線】

  1.若P分AB→ 所成的比為 ,則A分BP→ 的比為 ( )

  A. B.- C.- D.

  2.設(shè)點(diǎn)P在線段AB的延長線上,P分AB→ 所成的比為λ,則 ( )

  A.λ<-1 B.-1<λ<0 C.0<λ<1 D.λ>1

  3.按向量a將點(diǎn)(2,3)平移到(0,1),則按向量a將點(diǎn)(7,1)平移到點(diǎn) ( )

  A.(9,-3) B.(9,3) C.(5,-1) D.(-5,-3)

  4.若函數(shù)y=f(1-2x)的圖象,按向量a平移后,得到函數(shù)y=f(-2x)的圖象,則向量a= .

  5.設(shè)三個(gè)向量OA→ =(-1,2),OB→ =(2,-4),OC→ 的終點(diǎn)在同一條直線上(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

  (1) 若點(diǎn)C內(nèi)分AB→ 所成的比為 ,求C點(diǎn)坐標(biāo);

  (2) 若點(diǎn)C外分AB→ 所成的比為- ,求C點(diǎn)坐標(biāo).

  【講練平臺(tái)】

  例1 已知P(1,1),A(2,3),B(8,-3),且C、D順次為AB的三等分點(diǎn)(C靠近A),求PC→ 和PD→ 的坐標(biāo).

  分析 已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),可求AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)C、D的坐標(biāo),進(jìn)而結(jié)合已知P點(diǎn)坐標(biāo),可求PC→ ,PD→ .

  解 解法一 由題知,點(diǎn)C、D分AB所成的比分別為λ1= ,λ2=2 ,

  設(shè)C(x,y),則

  即C(4,1),同理可得D(6,-1).

  故PC=(4,1)-(1,1)=(3,0),PD=(6,-1)-(1,1)=(5,-2).

  解法二 因A、B、C、D四點(diǎn)共線,由已知得 ,AD→ =23 AB→ ,

  故PC→ =PA→ +AC→ =(2-1,3-1)+ (8-2,-3-3)=(3,0),

  PD→ =PA→ +AD→ =(2-1,3-1)+23 (8-2,-3-3)=(5,-2).

  點(diǎn)評(píng) 定比分點(diǎn)公式涉及起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)、分點(diǎn)坐標(biāo)、定比七個(gè)量,它們之間固有的聯(lián)系有兩個(gè)方程,故已知其中五個(gè)量能求其余兩個(gè)量,若是只考察其中一個(gè)方程(如橫坐標(biāo)關(guān)系式),只須已知其中三個(gè),可求第四個(gè).對(duì)此,我們不僅要考察公式的原形,還需掌握公式的變形.

  本題的解法二,回歸到最基礎(chǔ)的向量加減來處理定比分點(diǎn)問題,運(yùn)算量小,出錯(cuò)率低.

  例2 將函數(shù) 的圖象按向量a平移后得到函數(shù) 的圖形,求a和實(shí)數(shù)k.

  分析 平移前后的函數(shù)表達(dá)式已知,可以通過恒等變形,求得整體結(jié)構(gòu)一致,再比較變量x、y的變化,確定平移公式,得向量a,而k則可通過比較系數(shù)法求得.

  解

  令 x′ = x- ,

  y′=y- .

  原函數(shù)解析式變形為y′=- ,

  ∴ a=(- - ), k=- .

  點(diǎn)評(píng) 圖形的平移變換,實(shí)質(zhì)是圖形上任意一點(diǎn)的變換,求解平移變換問題至關(guān)重要的是確定關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的平移公式.

  面對(duì)較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式,為了畫出其圖形,并討論其性質(zhì),常采納平移變換化繁為簡.

  變題 通過平移變換,化簡 (ad-bc≠o , c≠o),并作出圖形.

  提示: = ,

  令

  并記 =k≠0, 則原方程化簡為 .

  因此,原函數(shù)的圖象按向量a= 平移后得 的圖象,故其圖象是以 為中心的,以x= 為漸近線的雙曲線.

  例3.將函數(shù) 的圖象,按向量a平移后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這樣的向量是否唯一?若唯一,求出向量a;若不唯一,求a模的最小值.

  分析 正弦函數(shù)是周期函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),表達(dá)式不唯一.就本題而言,平移后的函數(shù)解析式可以是y=2sin2x , 也可以是y=2sin(2x+π),y=2sin(2x-π)等等.因此,向量a不唯一.

  要求∣a∣的最小值,首先必需確定平移后函數(shù)表達(dá)式的一般式,并在此基礎(chǔ)上建立關(guān)于∣a∣的目標(biāo)函數(shù).

  解 向量a不唯一.平移后的圖象對(duì)應(yīng)解析式可以為y=2sin(2x+kπ), k∈Z

  考察原函數(shù)表達(dá)式 ,

  可令 (k∈Z)

  即 ,

  ∴ a=(- ,-1), ( k∈Z),

  | a | (k∈Z).

  ∴ 當(dāng)k=2 時(shí),∣a∣取最小值,最小值為 .

  點(diǎn)評(píng) 常見向量平移變換應(yīng)用于三角函數(shù)式化簡,多數(shù)問題思路單一,結(jié)論唯一.本題突破常規(guī),開放性的設(shè)計(jì),要求解題者具有更深刻的思維能力.

  例4. 設(shè)A(1,1),B(5,5),且P在直線AB上,若AB→ =λAP→ ,AP→ =λPB→ ,P點(diǎn)是否可能落在線段AB的延長線上 ?若能,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不能;說明理由.

  分析 由AB→ =λAP→ 知,要使P落在線段AB的延長線上,只需λ∈(0,1).為此,我們?cè)O(shè)法將兩個(gè)已知向量等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于λ的方程,解出λ,檢驗(yàn)λ∈(0,1)是否成立.

  解 AB→ =(5,5)-(1,1)=(4,4),

  設(shè)P(x,y),則AB→ =λAP→ =λ2 PB→ .

  (4,4)=λ2(5-x,5-y)=λ(x-1,y-1),

  且

  依據(jù)兩個(gè)方程組的第一個(gè)方程,消去x,得

  5λ2-λ(4+λ)=4,即λ2-λ-1=0,

  ∴ λ= .

  數(shù)形結(jié)合知,在AB→ =λAP→ 時(shí),要P落在線段AB的延長線上,則需λ∈(0,1),所求兩個(gè)λ的值均不符合題意,故P不可能落在AB延長線上.

  【知能集成】

  基礎(chǔ)知識(shí):向量的平移公式,定比分點(diǎn)定義、公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

  基本技能:求平移公式,求點(diǎn)關(guān)于向量平移后的坐標(biāo),求函數(shù)圖象關(guān)于向量平移后對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.運(yùn)用定比分點(diǎn)公式,求端點(diǎn)、分點(diǎn)坐標(biāo)及定比.

  基本思想:①回到定義去,回避定比分點(diǎn)公式的繁瑣運(yùn)算.②用基本量思想看定比分點(diǎn)公式.③運(yùn)用整體分析、比較觀點(diǎn),確定平移公式.

  【訓(xùn)練反饋】

  1.點(diǎn)(4,3)關(guān)于點(diǎn)(5,-3)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )

  A.(4,-3) B.(6,-9) C.( ,0) D.( 12 ,3)

  2.點(diǎn)A(0,m)按向量a平移后得到點(diǎn)B(m,0),則向量a的坐標(biāo)是 ( )

  A.(m , m) B.(m , -m) C.(-m , m) D.(-m , -m)

  3. 按向量a可把點(diǎn)(2,0)平移到點(diǎn)(-1,2),則點(diǎn)(-1,2)按向量a平移后得到的點(diǎn)是( )

  A.(2,0) B.(-3,2) C.(2,4) D.(-4,4)

  4.將函數(shù) 的圖象,按向量a平移后得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),則a可以是 ( )

  A. (- ,-4) B. (- ,4) C. ( ,4) D. (- ,-4)

  5.已知點(diǎn)P(2,3),分P1P2所成的比為2,且點(diǎn)P2(1,2),則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為( )

  A.(4,5) B.(0,1) C.(3,4) D.(5,6)

  6.將函數(shù)y=x2+mx+n圖象的頂點(diǎn)P按向量a平移到原點(diǎn)O,則a= .

  7. 函數(shù) 的圖象按向量a=(2,1)平移后得到函數(shù) 的圖象.

  8.已知A(2,2),B(-3,4),C(4,-1),則ΔABC的重心坐標(biāo)為 .

  9.若∣P1P2∣=5 cm,點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上,且∣P1P∣=1 cm,則P分P1P2所成的比為 .

  10. 已知O為原點(diǎn),m∈R且m≠0,OA=(m,2m),OB=(2,2),求點(diǎn)B關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo).

  11. 已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax+b的圖象C按向量p =(1,2)平移后,得到的圖象仍然是C,問這樣的一次函數(shù)是否唯一?若唯一,求出該函數(shù)的解析式;若不唯一,說明這類函數(shù)的表達(dá)式的共同特征.

  12.已知A、B、C三點(diǎn)在一條直線上,且OA→ -3OB→ +2OC→ =0 ,求點(diǎn)A分BC→ 所成的比λ.

  第33課 平面向量的應(yīng)用

  【考點(diǎn)指津】

  1. 在閱讀、理解具有實(shí)際意義的文字材料的基礎(chǔ)上,能準(zhǔn)確、清晰、有條理地用向量的語言表述問題.

  2. 能從實(shí)際問題中提煉、概括抽象出數(shù)學(xué)模型.

  3. 能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法,求出數(shù)學(xué)模型的解.

  4. 能結(jié)合實(shí)際意義,正確表述問題的解.

  5. 能用向量知識(shí)簡捷地處理其它數(shù)學(xué)分支相關(guān)問題.

  【知識(shí)在線】

  1.下列各個(gè)量:①物體的位移;②汽車的速度;③物體的質(zhì)量;④某液體的溫度.其中能稱為向量的有 .

  2.已知三個(gè)力F1=(1,3),F(xiàn)2(-2,1),F(xiàn)3=(x,y),某物體在這三個(gè)力的同時(shí)作用下保持平衡,則力F3= .

  3.設(shè)某人向東走3 km后,又改變方向向北偏東30o走3 km,該人行走的路程是 ,他的位移是 .

  4.用向量方法證明勾股定理.

  5.一條東西方向的河流,水流速度為2 km/h,方向正東.一船從南岸出發(fā),向北岸橫渡,船速為4 km/h,試求船的實(shí)際航行速度,并畫出圖形(角度可用反三角函數(shù)表示).

  【講練平臺(tái)】

  例1 某一天,一船從南岸出發(fā),向北岸橫渡.根據(jù)測(cè)量,這一天水流速度3km/h,

  方向正東,風(fēng)向北偏西30o,受風(fēng)力影響,靜水中船的飄行速度大小也為3 km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度橫渡,求船本身的速度大小及方向.

  分析 撇開題設(shè)情境,提煉出四個(gè)速度,即水流速度v1,風(fēng)的速度v2,船本身的速度v3,船的實(shí)際航行速度v,并且有v1+v2+v2=v,在這一等式中,v1、v2、v已知,v3可求.

  略解:設(shè)水的速度為v1 ,風(fēng)的速度v2,v1+v2=a,

  易求得a的方向是北偏東 30o,a的大小為 3 km/h .

  設(shè)船的實(shí)際航行速度v,方向南向北,大小 23 km/h..船本身的速度v3,則a+v3=v , 即 v3=v-a , 數(shù)形結(jié)合知,v3方向是北偏西60o,大小為3 km/h..

  點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)與“知識(shí)在線”第5題相似的問題,熟悉的情境以及簡單情況下的解題經(jīng)驗(yàn)為本題求解奠定了基礎(chǔ).

  四種速度融為一體,我們采納分步合成,步步為營的策略.每一次合成只相當(dāng)于求解了一個(gè)簡單題.

  例2 已知O為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足

  |OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2=|OC→|2+|AB→|2.試證明O是ΔABC的垂心.

  分析 已知等式是關(guān)于線段長度平方和的等式,OA→ 與BC→ 、OB→與CA→、OC→與AB→ 都不是同一個(gè)直角三角形中的線段,用純平面幾何知識(shí)證明相當(dāng)困難.

  但線段長度平方和即向量模的平方,要證O是ΔABC的垂心,只需證得OA→ ⊥BC→ ,OB→⊥CA→,聯(lián)想向量的數(shù)量積,只需證OA→ ?BC→ =OB→?CA→=0.

  |OA→ |2+| BC→ |2=|CA→|2+|OB→|2 ,得

  a2+(c-b)2=b2+(a-c)2 , c?b=a?c ,即(b-a)?c=0.

  OC→?AB→=0, 故 AB→⊥OC→.

  同理 CA→⊥OB→,BC→ ⊥OA→ .

  故O是ΔABC的垂心.

  點(diǎn)評(píng) 向量知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域很寬泛,中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的平幾、立幾、解幾、函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等等,都可以與向量綜合,求解這類問題的關(guān)鍵在于揭去偽裝,合理轉(zhuǎn)化.

  例3.如圖所示,對(duì)于同一高度(足夠高)的兩個(gè)定滑輪A、B,用一條足夠長的繩子跨過它們,并在兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1≠m2),

  另在兩滑輪中間的一段繩子的O點(diǎn)處懸掛質(zhì)量為m的另一物體,已知m1∶m2=OB∶OA,且系統(tǒng)保持平衡(滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計(jì)).求證:

  (1) ∠AOB為定值;

  (2) >2.

  分析 依據(jù)題意,我們可以作出物體的受力圖,

  引用平衡條件可列出方程組,在方程組的變形中,探索∠AOB的大小,在求出∠AOB后,再向第2問結(jié)論努力.

  解(1)設(shè)兩繩子AO、BO對(duì)物體m的拉力分別為

  F1、F2,物體m向下的重力為F,由系統(tǒng)平衡條件知F1+F2+F=0.

  如圖,設(shè)∠BAO=α,∠ABO=β,根據(jù)平行四邊形法則,得

  F2cosβ+F1cos(π-α)=0,

  F2sinβ+F1sin(π-α)+F=0.

  即 m2cosβ-m1 cosα=0 , ①

  m2sinβ+m1 sinα=m. ②

  在ΔAOB中,由正弦定理,得OB∶OA= sinα∶sinβ,將m1∶m2= sinα∶sinβ代入①,得

  sinβcosβ= sinαcosα,即sin2β= sin2α.

  ∵m1≠m2 ,∴OA≠OB. ∴α≠β,2α+2β=180o.

  ∴α+β=90o, 即∠AOB=90o.

  (2)由α+β=90o,得 cosβcosα=sinβsinα.

  將①②平方相加,得m2=m12+m22 .

  由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m2)2>0 ,得m2>2m1m2.

  ∴ >2.

  點(diǎn)評(píng)  向量在物理中的應(yīng)用最常見的是力學(xué)問題,物體處于平衡狀態(tài)即所受各力的合力為0,亦即向量之和為零向量,運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則及解斜三角形的基礎(chǔ)知識(shí)可望得到問題的解.本題所列方程組,是根據(jù)物體水平方向、豎直方向所受各力的合力分別為0得到.

  【知能集成】

  向量知識(shí)是一種基礎(chǔ)性、工具性知識(shí),在跨學(xué)科內(nèi)分支、跨學(xué)科范疇、跨認(rèn)知領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用中,我們應(yīng)逐步增強(qiáng)閱讀理解能力,數(shù)學(xué)建模、解模能力,和分析問題解決問題能力.

  【訓(xùn)練反饋】

  1. 如果一架向東飛行200km,再向南飛行300km,記飛機(jī)飛行的路程為s,位移為a,則 ( )

  A. s>|a| B. s<|a| C. s=|a| D. s與|a|不能比大小

  2. 當(dāng)兩人同提重|G|的書包時(shí),用力都為|F|,夾角為θ,則|F|、|G|、θ之間的關(guān)系為|F| = |G|2cosθ2;當(dāng)θ= 時(shí),|F|取得最小值;當(dāng)|F|=|G|時(shí),θ= .

  3. 一條河寬為d,水流速度為v2,一船從岸邊A處出發(fā),垂直河岸線航行到河的正對(duì)岸B處,船在靜水中的速度為v1,則船在航行過程中,船的實(shí)際航行速度大小為 ( )

  A.| v1| B.| v1|2+| v2|2 C.| v1|2-| v2|2 D.| v1|-| v2|

  4.一艘船以4km/h的速度,沿著與水流方向成120o的方向航行,已知河水流速為2 km/h,該船若航行6 km,所須時(shí)間為 ( )

  A.3 h B.23 h C.3 h D.2 h

  5. 已知向量OA1→ =3i+2j,AnAn+1→ =2i+2j(n∈N+),則OAn→= .

  6. 已知A(k,12),B(4,5),C(10,k),若點(diǎn)C在線段AB上,則k值等于 ( )

  A.11 B.-2 C.-11或2 D.485 或252

  7.已知ΔABC中,AB→=c,BC→=a,CA→=b,則下列推理不正確的是 ( )

  A. 若a?b=b?c,則ΔABC為等腰三角形

  B. 若a?b>0,則ΔABC為鈍角三角形

  C. 若a?b=0,則ΔABC為直角三角形

  D. 若c?(a+b+c)=0,則ΔABC為正三角形

  8.在一次抗洪搶險(xiǎn)中,某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng),失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行.此時(shí),風(fēng)向是北偏東30o,風(fēng)速是20 km/h.;水的流向是正東,流速為20 km/h.,若不考慮其它因素,救生艇在洪水中漂行的速度為 .

  9.已知a=(sinα, sinα-cosα),b=(cosα,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OP→=a+b,

  則|OP→|= .

  10.一個(gè)30o的斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為1kg的球,若要保持球在斜面上靜止不動(dòng),應(yīng)沿斜面方向給球多大的力?若表示球的重力的向量為p,球?qū)π泵娴膲毫?omega;,則球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上靜止不動(dòng)的推力f′又如何表示?

  11. 已知點(diǎn)A(1,2)和B(4,-1),問能否在y軸上找一點(diǎn)C,使∠ACB=90o,若能,求出C點(diǎn)坐標(biāo);若不能,說明理由.

  12. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA→ =(3,0),OB→ =( ),兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度均為4km/h,且甲沿AO→方向運(yùn)動(dòng),乙沿OB→方向運(yùn)動(dòng).

  (1) 甲乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的初始距離是多少?

  (2) 用包含t的式子f(t)表示t小時(shí)后,兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離;

  (3) 什么時(shí)候兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間相距最近.

  單元練習(xí)五 (平面向量)

  (考試時(shí)間120分鐘 總分150分)

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

  1. 向量a=(1,-2),向量a與b共線,且|b|=4|a|.則b= ( )

  A.(-4,8) B.(-4,8)或(4,-8)

  C.(4,-8) D.(8,4)或(4,8)

  2. 已知a=(2,1),b=(x,1),且a+b與2a-b平行,則x等于 ( )

  A.10 B.-10 C.2 D.-2

  3.已知向量a和b滿足|a|=1,|b|= ,a⊥(a-b).則a與b的夾角為 ( )

  A.30o B.45o C.75o D.135o

  4.設(shè)e1、e 2是兩個(gè)不共線向量,若向量 a=3e1+5e2與向量b=me1-3e2共線,

  則m的值等于 ( )

  A.- 53 B.- 95 C.- 35 D.- 59

  5.設(shè)□ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,AD→ =(3,7),AB→ =(-2,1),OB→ = ( )

  A.( -52 ,-3) B.(52 ,3) C.(1,8) D.(12 ,4)

  6.設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,且a?b=0,那么下列四個(gè)等式①|(zhì)a|=|b|;

 、趞a+b|=|a-b|;③a?(b+a)=0;④(a+b)2=a2+b2.

  其中正確等式個(gè)數(shù)為 ( )

  A.0 B.1 C.2 D.3

  7.將y=2x的圖象                     ( )

  A.按向量(0,1)平移 B.按向量(0,-1)平移

  C.按向量(1,0)平移 D.按向量(-1,0)平移

  再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象,可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象.

  8.a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2)用a、b作基底可將c表示為c=pa+qb,則實(shí)數(shù)p、q的值為             ( )

  A.p=4 q=1 B. p=1 q=4

  C. p=0 q=4 D. p=1 q=0

  9.將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a的方向平移得到函數(shù)y=2sin(2x+π3 )+1的圖象,則向量a的坐標(biāo)為          ( )

  A.(-π3 ,1) B.(-π6 ,1) C.(π3 ,-1) D.(-π6 ,-1)

  10.設(shè)平面上四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D,已知(DB→ +DC→ -2DA→ )?(AB→ -AC→ )=0.則ΔABC的形狀是          ( )

  A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

  11.將函數(shù)y=2x的圖象按向量a平移后得到函數(shù)y=2x+6的圖象,給出以下四個(gè)命題:① a的坐標(biāo)可以是(-3,0); ② a的坐標(biāo)可以是(0,6);

 、踑的坐標(biāo)可以是(6,0); ④ a的坐標(biāo)可以有無數(shù)種情況.

  其中真命題的個(gè)數(shù)為 ( )

  A.1 B.2 C.3 D.4

  12.設(shè)F1、F2是雙曲線 x24 -y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且PF1→ ?PF2→ =0,則|PF1→ |?|PF2→ |的值為 ( )

  A.2 B.22 C.4 D.8

  二、填空題:每小題4分,共16分.

  13.設(shè)線段P1P2的長為10cm,P在P1P2的延長線上,且P2P=20cm,則P分P1P2→ 所成的比為 .

  14.已知向量a=(2 ,-2 ),b=(3 ,1)那么(a+b)?(a-b)的值是 .

  15.若a=(2,3),b=(-4,7),a+c=0,則c在b方向上的投影為 .

  16.若對(duì)n個(gè)向量 a1,a2,a3,…,an,存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn,使得k1 a1+k2a2+…+knan=0成立,則稱a1,a2,…,an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定,能使a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1,k2,k3 依次可以取 .

  三、解答題

  17.(本題滿分12分)

  如圖,一艘船從點(diǎn)A出發(fā)以23 km/h的速度向垂直于對(duì)岸

  的方向AD→ 行駛,同時(shí)河水的流速為2 km/h.求船實(shí)際航行

  速度的大小與方向(用與流速間的夾角表示).

  18.(本題滿分12分)

  已知△OFQ的面積為S,且OF→ ? FQ→ =1 ,若12

  19.(本題滿分12分)

  已知點(diǎn)H(-3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足 ,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C.

  20. (本題滿分12分)

  已知向量OA→ =3i-4j,OB→ =6i-3j,OC→ =(5-m)i-(4+m)j,其中i、j分別是直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量.

  (1)若A、B、C能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件;

  (2)若ΔABC為直角三角形,且∠A為直角,求實(shí)數(shù)m的值.

  21.(本題滿分12分)

  已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120o.

  (1)求證(a-b)⊥c;

  (2)若│ka+b+c│>1(k∈R),求k的取值范圍.

  22. (本題滿分14分)

  已知向量a、b、c、d,及實(shí)數(shù)x、y,且|a|=1,|b|=1,c=a+(x2-3)b,d=-ya+xb,如果a⊥b,c⊥d,且|c|≤10 .

  (1)求x、y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)及定義域;

  (2)(供部分考生選做)判斷f(x)的單調(diào)性,指出單調(diào)區(qū)間,并求出函數(shù)的最大值、最小值.

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