高考數學熱點函數導數題型解析

　    函數與導數、不等式

　　第1講　函數圖象與性質及函數與方程

　　高考定位　1.高考仍會以分段函數、二次函數、指數函數、對數函數為載體，考查函數的定義域、函數的最值與值域、函數的奇偶性、函數的單調性，或者綜合考查函數的相關性質.2.對函數圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數的圖象，通過數形結合的思想解決問題.3.以基本初等函數為依托，考查函數與方程的關系、函數零點存在性定理、數形結合思想，這是高考考查函數的零點與方程的根的基本方式.

　　真 題 感 悟

　　1.(2015·安徽卷)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(　　)

　　A.y＝cos x      B.y＝sin x        C.y＝ln x          D.y＝x2＋1

　　2.(2015·全國Ⅱ卷)設函數f(x)＝1＋log2（2－x），x＜1，2x－1，x≥1，則f(－2)＋f(log212)＝(　　)

　　A.3              B.6              C.9              D.12

　　3.(2015·北京卷)如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

　　A.{x|－1＜x≤0}    B.{x|－1≤x≤1}        C.{x|－1＜x≤1}        D.{x|－1＜x≤2}

　　4.已知函數f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________.

　　考 點 整 合

　　1.函數的性質

　　(1)單調性：證明函數的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論.可以用來比較大小，求函數最值，解不等式，證明方程根的唯一性；

　　(2)奇偶性：①若f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)＝0；③奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性；

　　(3)周期性：①若y＝f(x)對x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，則y＝f(x)是周期為2a的周期函數；②若y＝f(x)是偶函數，其圖象又關于直線

　　x＝a對稱，則f(x)是周期為2|a|的周期函數；③若y＝f(x)是奇函數，其圖象又關于直線x＝a對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數；④若f(x＋a)＝－f(x)

　　或f（x＋a）＝1f（x），則y＝f(x)是周期為2|a|的周期函數.

　　2.函數的圖象

　　對于函數的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換.

　　3.函數的零點與方程的根

　　(1)函數的零點與方程根的關系

　　函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)的圖象與函數y＝g(x)的圖象交點的橫坐標.

　　(2)零點存在性定理

　　注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點.

　　熱點一　函數性質的應用

　　[微題型1]　單一考查函數的奇偶性、單調性、對稱性

　　【例1－1】 (1)(2015·全國Ⅰ卷)若函數f(x)＝xln(x＋a＋x2)為偶函數，則a＝________.

　　(2)(2015·濟南三模)已知實數x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，則下列關系式恒成立的是(　　)

　　A.1x2＋1＞1y2＋1          B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)        C.sin x＞sin y          D.x3＞y3

　　(3)設f(x)＝2x＋2，x＜1，－ax＋6，x≥1(a∈R)的圖象關于直線x＝1對稱，則a的值為(　　)

　　A.－1                  B.1              C.2              D.3

　　[微題型2]　綜合考查函數的奇偶性、單調性、周期性

　　【例1－2】 (1)(2015·湖南卷)設函數f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是(　　)

　　A.奇函數，且在(0，1)上是增函數        B. 奇函數，且在(0，1)上是減函數

　　C. 偶函數，且在(0，1)上是增函數        D.偶函數，且在(0，1)上是減函數

　　(2)(2015·長沙模擬)已知偶函數f(x)在[0，＋∞)單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，則x的取值范圍是________.

　　【訓練1】 (2015·天津卷)已知定義在R上的函數f(x)＝2|x-m|－1(m為實數)為偶函數，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為(　　)

　　A.a＜b＜c                      B.a＜c＜b            C.c＜a＜b                      D.c＜b＜a

　　熱點二　函數圖象與性質的融合問題

　　[微題型1]　函數圖象的識別

　　【例2－1】 (1)(2015·安徽卷)函數f(x)＝ax＋b（x＋c）2的圖象如圖所示，則下列結論成立的是(　　)

　　A.a>0，b>0，c<0        B.a<0，b>0，c>0        C.a<0，b>0，c<0        D.a<0，b<0，c<0

　　(2)(2014·江西卷)在同一直角坐標系中，函數y＝ax2－x＋a2與y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的圖象不可能的是(　　)

　　[微題型2]　函數圖象的應用

　　【例2－2】 (1)已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2＞x1＞1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，設a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為(　　)

　　A.c＞a＞b              B.c＞b＞a        C.a＞c＞b              D.b＞a＞c

　　(2)(2015·全國Ⅰ卷)設函數f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是(　　)

　　A.－32e，1          B.－32e，34      C.32e，34                  D.32e，1

　　【訓練2】 (2015·成都診斷)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|＜g(x)時，h(x)＝－g(x)，則h(x)(　　)

　　A.有最小值－1，最大值1        B.有最大值1，無最小值

　　C.有最小值－1，無最大值        D.有最大值－1，無最小值

　　熱點三　以函數零點為背景的函數問題

　　[微題型1]　函數零點個數的求解

　　【例3－1】 函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內的零點個數是(　　)

　　A.0              B.1              C.2              D.3

　　[微題型2]　由函數零點(或方程根)的情況求參數

　　【例3－2】 (2015·天津卷)已知函數f(x)＝2－|x|，x≤2，（x－2）2，x＞2，函數g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函數y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是(　　)

　　A.74，＋∞          B.－∞，74        C.0，74              D.74，2

　　【訓練3】 (2015·南陽模擬)已知函數f(x)＝1x＋2－m|x|有三個零點，則實數m的取值范圍為________.

　　1.解決函數問題忽視函數的定義域或求錯函數的定義域，如求函數f(x)＝1xln x的定義域時，只考慮x＞0，忽視ln x≠0的限制.

　　2.函數定義域不同，兩個函數不同；對應關系不同，兩個函數不同；定義域和值域相同，也不一定是相同的函數.

　　3.如果一個奇函數f(x)在原點處有意義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.

　　4.奇函數在兩個對稱的區(qū)間上有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區(qū)間上有相反的單調性.

　　5.函數的圖象和解析式是函數關系的主要表現形式，它們的實質是相同的，在解題時經常要互相轉化.在解決函數問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類討論求參數的取值范圍等)問題時，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用.

　　6.不能準確把握基本初等函數的形式、定義和性質.如討論指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的單調性時，不討論底數的取值；忽視ax＞0的隱含條件；冪函數的性質記憶不準確等.

　　7.判斷函數零點個數的方法有：(1)直接求零點；(2)零點存在性定理；(3)數形結合法.

　　8.對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個函數圖象，然后數形結合，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

　　一、選擇題

　　1.(2015·廣東卷)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是(　　)

　　A.y＝x＋ex          B.y＝x＋1x        C.y＝2x＋12x          D.y＝1＋x2

　　2.函數f(x)＝log2x－1x的零點所在的區(qū)間為(　　)

　　A.0，12          B.12，1       C.(1，2)             D.(2，3)

　　3.已知函數f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是(　　)

　　A.0，12                 B.12，1            C.(1，2)                  D.(2，＋∞)

　　4.(2015·山東卷)設函數f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，則滿足f(f(a))＝2f(a)的a取值范圍是(　　)

　　A.23，1                  B.[0，1]            C.23，＋∞                  D.[1，＋∞)

　　5.(2015·全國Ⅱ卷)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為(　　)

　　二、填空題

　　6.(2015·福建卷)若函數f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x＞2(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數a的取值范圍是________.

　　7.(2015·洛陽模擬)若函數f(x)＝2x－a，x≤0，ln x，x＞0有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是________.

　　8.已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，對?x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.當x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2時，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0，給出下列命題：

　　①f(2)＝0；②直線x＝－4是函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸；③函數y＝f(x)在[－4，4]上有四個零點；

　�、躥(2 014)＝0.其中所有正確命題的序號為________.

　　三、解答題

　　9.定義在[－1，1]上的奇函數f(x)，已知當x∈[－1，0]時，f(x)＝14x－a2x(a∈R).

　　(1)寫出f(x)在[0，1]上的解析式；(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.

　　10.(2015·太原模擬)已知函數f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2.

　　(1)求a，b的值；(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上單調，求m的取值范圍.

　　11.已知函數f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0).

　　(1)若g(x)＝m有實根，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根.

　　第2講　不等式及線性規(guī)劃

　　高考定位　不等式的性質、求解、證明及應用是每年高考必考的內容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃求最值；(2)不等式相關的知識可以滲透到高考的各個知識領域，往往作為解題工具與數列、函數、向量相結合，在知識的交匯處命題，難度中檔；在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍或在解決導數問題時經常利用不等式進行求解，但難度偏高.

　　真 題 感 悟

　　1.(2015·重慶卷)"x＞1"是"log12 (x＋2)＜0"的(　　)

　　A.充要條件          B.充分而不必要條件        C.必要而不充分條件          D.既不充分也不必要條件

　　2.(2015·北京卷)若x，y滿足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，則z＝x＋2y的最大值為(　　)

　　A.0              B.1              C.32              D.2

　　3.設f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f (ab)，q＝f a＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是(　　)

　　A.q＝r＜p                  B.q＝r＞p            C.p＝r＜q                  D.p＝r＞q

　　4.(2015·全國Ⅰ卷)若x，y滿足約束條件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，則yx的最大值為________.

　　考 點 整 合

　　1.解含有參數的一元二次不等式，要注意對參數的取值進行討論：①對二次項系數與0的大小進行討論；②在轉化為標準形式的一元二次不等式后，對判別式與0的大小進行討論；③當判別式大于0，但兩根的大小不確定時，對兩根的大小進行討論.

　　2.利用基本不等式求最值

　　已知x，y∈R＋，則(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值

　　S24xy≤x＋y22＝S24；(2)若xy＝P(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值2P(x＋y≥2xy＝2P).

　　3.平面區(qū)域的確定方法是"直線定界、特殊點定域"，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集.線性目標函數z＝ax＋by中的z不是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，把目標函數化為y＝－abx＋zb，可知zb是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據b的符號確定目標函數在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.

　　4.不等式的證明

　　不等式的證明要注意和不等式的性質結合起來，常用的方法有：比較法、作差法、作商法(要注意討論分母)、分析法、綜合法、數學歸納法、反證法，還要結合放縮和換元的技巧.其中，比較法是應用最為廣泛的證明方法，在導數、解含參不等式、數列等知識點都有滲透.

　　熱點一　利用基本不等式求最值

　　[微題型1]　基本不等式的簡單應用

　　【 例1－1】 (2015·武漢模擬)已知兩個正數x，y滿足x＋4y＋5＝xy，則xy取最小值時，x，y的值分別為(　　)

　　A.5，5          B.10，52          C.10，5          D.10，10

　　[微題型2]　帶有約束條件的基本不等式問題

　　【例1－2】 (2015·四川卷)如果函數f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間12，2上單調遞減，那么mn的最大值為(　　)

　　A.16              B.18              C.25              D.812

　　【訓練1】 (1)(2015·廣州模擬)若正實數x，y滿足x＋y＋1＝xy，則x＋2y的最小值是(　　)

　　A.3              B.5              C.7              D.8

　　(2)已知關于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數a的最小值為(　　)

　　A.1                  B.32                  C.2                  D.52