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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)練:切線方程

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 20:08:40

  高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí): 切線方程

  考點(diǎn)一。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

  1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

  (1)y=(3x2-4x)(2x+1);  (2)y=x2sin x;  (3)y=3xex-2x+e; (4)y=ln xx2+1;(5)y=ln(2x-5).

  解:(1)∵y=(3x2-4x)(2x+1)=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x,∴y′=18x2-10x-4.

  (2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.

  (3)y′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xexln 3+3xex-2xln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.

  (4)y′= .

  (5)令u=2x-5,y=ln u,則y′=(ln u)′u′=12x-5·2=22x-5,即y′=22x-5.

  2.(1)f(x)=x(2 016+ln x),若f′(x0)=2 017,求x0的值。

  (2)若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f′(1)=2,求f′(-1)的值。

  解:(1)f′(x)=2 016+ln x+x×1x=2 017+ln x,又f′(x0)=2 017+ln x0=2 017,解得x0=1.

  (2)f′(x)=4ax3+2bx,∵f′(x)為奇函數(shù),且f′(1)=2,∴f′(-1)=-2.

  考點(diǎn)二。導(dǎo)數(shù)的幾何意義

  命題點(diǎn)1 已知切點(diǎn)的切線方程問(wèn)題

  3.(1)求函數(shù)f(x)=ln x-2xx的圖像在點(diǎn)(1,-2)處的切線方程。

  解:(1)f′(x)=1-ln xx2,則f′(1)=1,故該切線方程為y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.

 。2)求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程。

  解: 在點(diǎn) 處斜率 ,則切線方程為 ,即 .

 。3)求斜率k=2的拋物線 的切線方程。

  解:設(shè) 為切點(diǎn),則斜率為 . .則切點(diǎn) .故切線方程為 ,即 .

 。4)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過(guò)P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_________.

  解:y′=x,y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,∵P(4,8),Q(-2,2),∴過(guò)P, Q的切線方程分別為:y=4x-8,

  y=-2x-2,聯(lián)立方程解得y=-4.

 。5)已知f(x)在(1,f(1))處的切線方程為: ,求 的值。解:  。

 。6)已知y=x+lnx在(1,1)處的切線與 相切,求a的值。

  解: , ,則切線方程為:y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,又因切線與 相切,則 , ,則 ,故a=8或a=0(舍)。

 。7)已知函數(shù)f(x)=lnx+2x ,求:(1)f′(1);     (2)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程。

  解:(1)f′(x)=1x+2f′(1)曲線在(1,f(1))處切線方程的斜率k=f′(1),則f′(1)=1+2f′(1),解得f′(1)=-1,(2)f(1)=ln1+2×(-1)=-2,所以切點(diǎn)(1,-2),所以切線方程為:y+2=-(x-1),化簡(jiǎn)得x+y+1=0.

  (8)已知f(x)滿足: ,求f(x)在(1,1)處的切線方程。

  解: ,令x=0,則 ,則切線方程:y=x-2.

  命題點(diǎn)2 未知切點(diǎn)的切線方程問(wèn)題

  4.(1)求與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程。

  (2)求過(guò)點(diǎn)(0,-1)且與f(x)=xln x相切的直線方程。

  (3)求過(guò)點(diǎn) 且與曲線 相切的直線方程. (4)求過(guò)點(diǎn) 且與 相切的直線方程.

 。5)求過(guò) 與曲線 相切的直線方程. (6)求過(guò)點(diǎn) 與 相切的直線方程。

  解:(1)對(duì)y=x2求導(dǎo)得y′=2x.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x20),則切線斜率為k=2x0.

  由2x0=2得x0=1,故切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

  (2)∵點(diǎn)(0,-1)不在曲線f(x)=xln x上,∴設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0).又∵f′(x)=1+ln x,∴y0=x0ln x0,y0+1=?1+ln x0?x0,解得x0=1,y0=0.∴切點(diǎn)為(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1.∴直線l的方程為y=x-1,即x-y-1=0.

 。3)設(shè) 為切點(diǎn),則切線的斜率為 . 切線方程為 ,即 .又已知切線過(guò)點(diǎn) ,把它代入上述方程,得 .

  解得 ,即 .

 。4)設(shè)切點(diǎn)為 ,則點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足 .

  因 ,故切線的方程為 .點(diǎn) 在切線上,則有 .化簡(jiǎn)得 ,解得 .所以,切點(diǎn)為 ,切線方程為 .

  (5)設(shè) 為切點(diǎn),則斜率為 . 切線方程為 . .過(guò)點(diǎn) ,代入 .

  解得 ,或 .故所求切線方程為 ,或 ,即   ,或 .

 。6)設(shè)切點(diǎn) ,則由 ,在點(diǎn) 處的斜率 ,有在點(diǎn) 處的切線的方程為 。又因?yàn)辄c(diǎn) 與點(diǎn)P(1,2)均在曲線C上,

  有 ,消去 得 ,

  解得 或 ,于是 或 ,所以所求切線方程為 或 。

  命題點(diǎn)3 和切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題

  5.(1)若曲線y=mx+ln x在點(diǎn)(1,m)處的切線平行于x軸,則m=________.

  解:∵y′=m+1x,∴y′|x=1=m+1=0, ∴m=-1.

 。2)已知f(x)=ln x,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖像都相切,且與f(x)圖像的切點(diǎn)為(1,f(1)),求m的值。

  解:∵f′(x)=1x,∴直線l的斜率為k=f′(1)=1.又f(1)=0,∴切線l的方程為y=x-1.

  g′(x)=x+m,設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0,y0),則有x0+m=1,y0=x0-1,y0=12x20+mx0+72,m<0,

  于是解得m=-2.

 。3)設(shè)曲線y=(ax-1)ex在點(diǎn)A(x0,y1)處的切線為l1,曲線y=(1-x)e-x在點(diǎn)B(x0,y2)處的切線為l2,若存在x0∈0,32,使得l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

  解:由y=(ax-1)ex,得y′=aex+(ax-1)ex=(ax+a-1)ex,所以 =(ax0+a-1) .

  由y=(1-x)e-x=1-xex,得y′=-ex- 1-x ex ex 2=x-2ex,所以 = .因?yàn)閘1⊥l2,所以 · =-1,即(ax0+a-1) · =-1,即(ax0+a-1)·(x0-2)=-1,從而a=x0-3x20-x0-2,其中x0∈0,32,令 ,則 。

  考點(diǎn)三。切線與坐標(biāo)軸面積

  6.(1)求曲線f(x)=  在點(diǎn)P(3,3)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積。

  解:f(x)= ,求導(dǎo):f'(x)=-  ,點(diǎn)P(3,3)處斜率k=f'(3)=-1,切線為:y-3=k(x-3)=-x+3,

  切線y=-x+6,與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為(6,0)和(0,6),所以所求面積:S= 6*6=18.

  (2)曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為_(kāi)_______.

  解:∵y′=-2e-2x,曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k=-2,∴切線方程為y=-2x+2,該直線與直線y=0和y=x圍成的三角形,其中直線y=-2x+2與y=x的交點(diǎn)為A(23,23),∴三角形的面積S=12×1×23=13.

 。3) y=  的切線與坐標(biāo)軸圍成的最大面積.

  解:y'=- ,設(shè)(a, )為其上任一點(diǎn),切線斜率k=- ,建立直線方程:y- =- (x-a)

  令x=0,解得y軸坐標(biāo)為(0,2 ),y=0,x軸上坐標(biāo)(a+1,0),由三角形面積公式得s(a)= *2 *(a+1),則s'(a)=-a* =0 得:a=0,當(dāng)a=0時(shí)取極大值點(diǎn)。在(  )上就是最大值s(a)max=1。

 

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