2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專練:函數(shù)的奇偶性
來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 19:37:17
高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí):奇偶性
函數(shù)的奇偶性
奇+奇=奇; 偶+偶=偶; 奇*奇=偶; 偶*偶=偶;
考點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性定義
。1)下面四個(gè)結(jié)論:①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn);③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0,其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,但不一定相交,因此③正確,①錯(cuò)誤;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但不一定經(jīng)過原點(diǎn),因此②不正確;若y=f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),由定義可得f(x)=0,但不一定x∈R,故④錯(cuò)誤,選A.
。2) , 是定義在R上的函數(shù), ,則" , 均為偶函數(shù)"是" 為偶函數(shù)"的( )
A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件
解:∵f(x)、g(x)均為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),g(-x)=g(x).∴h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)為偶函數(shù).但若h(-x)=h(x),即f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 不一定f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),
例f(x)=x2+x,g(x)=-x.
考點(diǎn)二、已知函數(shù)解析式,判斷或證明函數(shù)的奇偶性
2.判斷下列各函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)= . (2) ;
解:(1)f(-x)=-(-x)?+2|-x|=-x?+2|x|,則f(x)=f(-x),故函數(shù)是偶函數(shù)。
(2) 函數(shù)的定義域?yàn)镽,
當(dāng) 時(shí),
當(dāng) 時(shí),
當(dāng) 時(shí),
綜上可知,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有 ,所以函數(shù) 為奇函數(shù)。
(3) ; 偶函數(shù) (4) ; 奇函數(shù)
(5) ; 非奇非偶
。6) ; (7) ; (8) ;
解:(6)由 ,得定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,∴ 為非奇非偶函數(shù)
(7)由 定義域?yàn)?,∴ ,
∵ ∴ 為偶函數(shù)。
。8)定義域?yàn)镽,
,∴ f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù)。
考點(diǎn)三、抽象函數(shù)奇偶性的判定與證明
。1)已知函數(shù) 對(duì)一切 ,都有 ,判斷f(x)奇偶性。
解: 的定義域是 ,它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.在 中,
令 ,得 ,令 ,得 ,∴ ,
∴ ,即 , ∴ 是奇函數(shù).
考點(diǎn)四、利用奇偶性求解析式及值
(1)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)= ,求f(1).
解:f(1)=-f(-1)=1.
(2) 已知f(x)和g(x)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù),且 ,求f(1)+g(1).
解:f(1)-g(-1)=3=f(1)+g(1),又f(-1)-g(1)=1=f(1)-g(1),則f(1)=2,g(1)=-1,故f(1)+g(1)=1。
(3)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x|x-2|,求x<0時(shí),f(x).
解:∵f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x|x-2|,∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.
。4)已知f(x)是R上的奇函數(shù),且x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=-xlg(2-x),求f(x).
解:∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0.當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x),∴f(x)=-xlg(2+x).∴
考點(diǎn)五、利用奇偶性求參數(shù)值
。1)設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù),求a的值。
解: ∵f(1)=-f(-1) ∴a=-1.
。2)已知 是偶函數(shù),定義域?yàn)?, 求 a,b的值。
解: , 。
(3)已知 ,求 的值。
解:令 為奇函數(shù),則g(x)=f(x)-1,故g(-x)=f(-x)-1,
即g(-lg2)+g(lg2)=0,則f(-lg2)-1+f(lg2)-1=0,故 =2.
考點(diǎn)六.奇偶性與比大小
。1)已知偶函數(shù) 在 上為減函數(shù),比較 , , 的大小。
解: 偶函數(shù) 在 上為減函數(shù), 在 上為增函數(shù),又 , ,又 , 。
(2)已知 為偶函數(shù),比較 ,b= ,c=f(2m)大小。
解:a= ,c=f(0),由已知f(1)=f(-1),則m=0. ,畫圖得:c<a<b.
考點(diǎn)七.奇偶性與不等式
。1)若f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x-1,求f(x-1)<0的解集。
解:f(x)<0的解集:{x|-1<x<1},∴f(x-1)<0的解集為{x|0<x<2}.
(2) 函數(shù)f(x)是偶函數(shù),在[0,+∞)增,求f(2x-1)<f( )的解集。
解:- <2x-1< ,則 。
(3) 函數(shù)f(x)是奇函數(shù),在(0,+∞)增,且f(3)=0,求 的解集。
解:由已知:f(x)>0,則 。
(4)設(shè)f(x)=lg( )是奇函數(shù),求使f(x)<0的x的取值范圍。
解:∵f(0)=0得a=-1.∴f(x)= ,令f(x)<0,由兩個(gè)單增函數(shù)則0< <1,∴x∈(-1,0).(5)設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù) 在區(qū)間[0,2] 上單調(diào)遞減,若 ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
解: 又當(dāng) 時(shí), 是減函數(shù)
。
。6)已知f(x)為偶函數(shù),在 單調(diào)遞增,且 ,求a的取值范圍。
解:由已知: ,即 ,由f(x)圖像得: ,即 。
(7)已知 ,求使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍。
解:f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則 ,故 。
。8)已知函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù),若對(duì)任意t∈R,不等式f( -2t)+f(2 -k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
解:由f(x)為奇函數(shù),則 f(0)=0,f(-1)=-f(1),得a=2, b=1 。
f(x)= ,令 ,則f(x)是遞減函數(shù), f( -2t)+f(2 -k)<0等價(jià)于f( -2t)<-f(2 -k) ,所以 -2t>k-2 ,k<3 -2t=3 恒成立,則k<- 。
。9)已知 ,求不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集。
解:f(3x+1)-2+f(x)-2>0,令g(3x+1)+g(x)>0,即g(3x+1)>-g(x),
因g(x)= 為奇函數(shù),且單調(diào)遞增,則g(3x+1)>g(-x),又單調(diào)遞增,則3x+1>-x,故 。
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