50字證明正整數(shù)集內(nèi)整數(shù)比偶數(shù)多一倍

　　[摘要]使康脫脫離健康誤入歧途的重大中學數(shù)學錯誤：將一部分誤為全部，導(dǎo)致人類認識與研究正整數(shù)五千多年來，先一直不知SH定理“正整數(shù)集N內(nèi)奇、偶數(shù)各占一半”，近百年來又舉世歡呼“偉大發(fā)現(xiàn)”：N內(nèi)有多少個元n相應(yīng)就有多少個數(shù)２n、多少個２n－１、…且各數(shù)都∈N。本文據(jù)康脫比較兩數(shù)集各含數(shù)多少的對應(yīng)原理僅用50個字符就證明了SH定理，推翻百年集論。

　　[關(guān)鍵詞]中學數(shù)學重大錯誤；推翻自然數(shù)公理和百年集論；有首、末項的無窮數(shù)列；有窮與無窮的對立統(tǒng)一；N內(nèi)暗含有無窮大自然數(shù)n>M

　　一、會背書得高分者不一定真懂集合論
　　無窮數(shù)集A與B是否分別包含同樣多（個）元素？若A的所有相應(yīng)數(shù)y＝f（x）分別與B的所有元x一一對應(yīng)成雙配對“結(jié)婚”后，A還多出一數(shù)y≠f（x）“單身”而沒能與B的元x配對，就表明A比B多含了一個元，若還多出無窮多個數(shù)y≠f（x）“單身”就表明A比B多出無窮多個元。總之，若B的所有元x與A的一部分——真子集的各數(shù)y一一對應(yīng)，就表明A至少比B多含一個元而不可～B�？得摼蛿喽�無理數(shù)比自然數(shù)多；…。

　　兩集不對等就更談不上相等；不對等的原因是一集至少比另一集多或少一個元素。無窮集C～D表示C與D分別包含同樣多（個）元素。給C增添一C外元a就得C的真擴集K＝｛a｝∪C比C多了一個C所沒有的數(shù)a。
　　不知以上集論最核心的實質(zhì)內(nèi)容者還根本不懂集論。

　　二、推翻百年集論的真擴集定理
　　真擴集定理：任何可有真擴集的集G與其真擴集KéG不對等、更不相等，原因是K至少比G多出一個元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。

　　證：G～G。給G增添一個與G沒有共同元的非空集H得G的真擴集K＝H∪G就極顯然不～G了：K的一部分G的各數(shù)與原G的所有元一一對應(yīng)成雙配對，而另一部分H的各元就都與此配對無關(guān)，表明K至少比G多出了一個元素。證畢。
　　關(guān)鍵是G的各數(shù)均有與己相同的對應(yīng)數(shù)∈G，若G內(nèi)有數(shù)再與H的數(shù)相對應(yīng)那就是“一對二”的重復(fù)對應(yīng)了。

　　三、50字符證明N內(nèi)奇、偶數(shù)各占一半——“一對一”與“一對二”的重大區(qū)別使N內(nèi)整數(shù)比偶數(shù)多一倍
　　奇數(shù)集A：1，3，5，…，2n-1，...（A的元素可排為一數(shù)列）
　　偶數(shù)集B：2，4，6，…，2n，...（B的各元２n的對應(yīng)數(shù)n的全體組成集合C）
　　B～C：1，2，3，…，n，…（N=A∪B。真擴集定理斷定B不可～它的真擴集N從而推翻百年集論。）

　　3個數(shù)列顯示C的各元n都有兩對應(yīng)數(shù)2n、2n-1且所有對應(yīng)數(shù)組成的集是N，表明N的元比C的元多一倍——50個字符充分證明了推翻百年集論的：
　　SH定理：N的元素2倍于C的元素使C～B與B～A一樣是N的真子集;因B～A故N內(nèi)奇、偶數(shù)各占一半。
　　形成鮮明對比的是B的元素與C的元素就一樣多。

　　B～C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝（C由兩部分組成，第2部分是空集。）
　　在N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝中，第2部分A有多少（個）元，N就比C～B多多少（個）元——稍有一點頭腦的初中生也一說就明的推翻百年集論的表達式。
　　故N＝C∪（N－C）=C∪F是C的真擴集，F(xiàn)的各元n都是>C的一切n的C外無窮大自然數(shù)n。
　　所以中學數(shù)學斷定C=N，是將N的一部分誤為N從而使康脫誤入歧途的重大錯誤。不明此真相的數(shù)學教師以訛傳訛誤人子弟。

　　四、證明無窮集C有最大元素
　　數(shù)學常識：“集D的任何數(shù)x”中的x可取D的任何（所有）數(shù)，即D的所有數(shù)都由此x代表。反復(fù)強調(diào)：若代數(shù)式y(tǒng)>x中的x代表D的任何正數(shù)，則此式所代表的內(nèi)容之一：有數(shù)y>D的任何正數(shù)。

　　“無窮集D=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明確表達有D外數(shù)y>D的任何（所有）元x（式中x可一個不漏地遍取D的一切數(shù)使代表數(shù)的y>x必可一個不漏地遍比D的所有x都大）；同樣，①“C的任何元n<n+1∈N”一目了然地表達N中有數(shù)n+1>C的任何（所有）元n。②“任意一個”是全稱量詞，對C的任意一個n都有n+1>n就是對C的所有n都有n+1>n（C的所有數(shù)都由此n代表）。這不就是說有C外數(shù)n+1>C的一切n嗎？不少人為了分數(shù)而扼殺自己的正常思維能力。

　　因為①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C顯然就是C的最大數(shù)——其后繼n+1不∈C。
　　關(guān)鍵是對數(shù)學表達式所表達的內(nèi)容不能只有一知半解，對式中各字母的含義不能只有一知半解。
　　無窮集U=[a,b]內(nèi)也有該集的最小、大數(shù)。變域為U的x在由小到大取值的過程中必有最后一次的取值：取至b后就無數(shù)可取了，雖然最后一次取值的次數(shù)n與1相隔無窮多個自然數(shù)，即其取數(shù)過程是有完有了、有始有終的。

　　關(guān)鍵：對人而言U內(nèi)數(shù)多得取之不盡，人不能遍取U內(nèi)一切數(shù)，但變域為U的變量卻能取盡U內(nèi)數(shù)，因為變域是變量所有能取的數(shù)組成的集。對無窮現(xiàn)象的幼稚認識使人們誤以為地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。

　　正方形a是由4條直線段連接而成的閉折線圍成的，將閉折線在一連接點處“剪斷后拉直”就成為直線段了。將a的各條邊都變?yōu)橄鄳?yīng)的折線，就成為分形幾何中由無窮多直線段連接而成的“柯赫島閉折線”，它所圍成的圖形的面積j是1，而周長c卻>“任意給定的正數(shù)”M，將閉折線在一連接點處剪斷拉直，就成為長度是>M的無窮長直線段了。這是有始點與終點的無窮長直線段L（否則L就不能還原為原來的閉折線了）。所有連接點可排為一有始點與終點的無窮點列。顯然當a的面積j>>1時相應(yīng)的周長c′>>c>M。
　　以上是“無窮無盡”與“有窮有盡”的對立統(tǒng)一性在數(shù)學中的生動體現(xiàn)。對立統(tǒng)一規(guī)律是普遍規(guī)律。
　　不能定量描述無窮集包含多少個元素是數(shù)學的重大缺陷。

　　五、數(shù)學中，暗含的用而不知的“骨干”數(shù)遠遠多于已知數(shù)
　　在N內(nèi)取值的n→∞的含義是：n變至后來所取各自然數(shù)n均>“任給定正數(shù)”M。這類數(shù)n>M顯然是“更無理”數(shù)。
　　“本文揭示數(shù)學中，用而不知的‘骨干’數(shù)遠遠多于已知數(shù)。例如，如無>任何標準正數(shù)的非標準數(shù)及其倒數(shù)就絕無非標準微積分一樣，若無>‘任給定正數(shù)’M的數(shù)x及其倒數(shù)，就絕無無窮大變量x>M及其倒變量，從而更無微積分，因為變量x>M是說x所取各數(shù)x均大于M。古人不知無氧氣就無人類，今人不知無…就無微積分。…

　　“說恒取自然數(shù)的n可變至總>‘任給定正數(shù)’M就是間接肯定有無窮大自然數(shù)n>M。用而不知地失察此類起決定性作用的數(shù)，使數(shù)學自相矛盾，正如2500年前數(shù)學家對無理數(shù)用而不知一樣。沒有>M的數(shù)何來恒>M的變量（至少可取2個數(shù)的量稱為變量）及其倒變量？從而又何來微積分?!極限論斷定無窮數(shù)列1，2，3，…，n，…中有數(shù)n>M［１］。”

　　“林群院士精辟指出：‘數(shù)學歸根結(jié)底也在常識之內(nèi)。’（數(shù)學的實踐與認識，1997-2）常識一看就懂。天上的星星數(shù)不完、物質(zhì)的無限可分性、等等，就是宇宙中客觀存在的無窮現(xiàn)象。元素多得寫不完的集合就是無窮集。稍有一點頭腦的人都不否認：既然1，2，3，n，…，…是無窮數(shù)列，那當然就有與1相隔寫不完的那么多（即無窮多）個自然數(shù)的自然數(shù)n，雖然永生不死的人也不可由1寫到此n，但此n卻是數(shù)列中的無窮大自然數(shù)，否則就不是無窮數(shù)列了。相應(yīng)的1/n就是無窮小正數(shù)。相應(yīng)的1，2，3，…，n。就是有首、末項的無窮數(shù)列[2]。”正如1與2之間的實數(shù)多得寫不完一樣。

　　六、推翻自然數(shù)公理：N的任何元n<2n∈N
　　自然數(shù)公理斷定：數(shù)學內(nèi)的所有正自然數(shù)組成的N的各元n均有同屬N的對應(yīng)數(shù)2n>n（N的所有數(shù)都由此n代表）即：N的任何元n<2n∈N。其實這是使康脫誤入歧途的重大病句：N內(nèi)有數(shù)２n>N的所有數(shù)n。初3問題：
　　在N內(nèi)取值的y=2n>n=1，2，3，…中的自變量n能遍取N的一切數(shù)嗎？此式一目了然地表達N內(nèi)有數(shù)y>右邊數(shù)列的一切數(shù)n。所以關(guān)系式限制式中數(shù)列不可包含N的一切數(shù)！即y=2n的定義域≠N！即并非N的任何數(shù)都能由2n∈N中的n代表。中學數(shù)學斷定y=2n的定義域＝N是使康脫誤入歧途的重大錯誤。

　　對占統(tǒng)治地位的集合論，1908年著名數(shù)學家龐加萊富有遠見卓識、高瞻遠矚地作出極其驚人的超凡越圣的偉大科學預(yù)見：“下一代人將把（康脫爾的）集合論當作一種疾病，而且人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了。”