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2025年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)等差數(shù)列的前n項和

來源:網(wǎng)絡(luò)整理 2024-11-13 14:45:05

  一、等差數(shù)列及前n項和知識點(diǎn)匯總

  1.等差數(shù)列的定義

  如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.

  2.等差數(shù)列的通項公式

  若等差數(shù)列{an}的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.

  3.等差中項

  如果A=(a+b)/2,那么A叫做a與b的等差中項.

  4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

  (1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).

  (2)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,

  則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).

  (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.

  (4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列.

  (5)S2n-1=(2n-1)an.

  (6)若n為偶數(shù),則S偶-S奇=nd/2;

  若n為奇數(shù),則S奇-S偶=a中(中間項).

  一個推導(dǎo)

  利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式:

  Sn=a1+a2+a3+…+an,①

  Sn=an+an-1+…+a1,②

 、+②得:Sn=n(a1+an)/2

  兩個技巧

  已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題,要善于設(shè)元.

  (1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設(shè)為…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….

  (2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設(shè)為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元.

  四種方法

  等差數(shù)列的判斷方法

  (1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證an-an-1為同一常數(shù);

  (2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;

  (3)通項公式法:驗證an=pn+q;

  (4)前n項和公式法:驗證Sn=An2+Bn.

  注:后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列,而不能用來證明等差數(shù)列.

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