求矩陣的跡要化成上三角嗎？
來(lái)源：高三網(wǎng) 2021-11-29 23:24:16
不需要。對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換時(shí)，特征值也發(fā)生了變化，所以化出來(lái)的上三角矩陣的特征值一般不是原矩陣的特征值。在線性代數(shù)中，一個(gè)n×n矩陣A的主對(duì)角線（從左上方至右下方的對(duì)角線）上各個(gè)元素的總和被稱為矩陣A的跡（或跡數(shù)），一般記作tr(A)。
1求證上三角正規(guī)矩陣一定是對(duì)角陣
因?yàn)殡A梯型矩陣的每行的第一個(gè)非零元的列號(hào)應(yīng)該是依次遞增的。
0 1 0
0 2 0
0 0 1
是上三角矩陣，但不是階梯型矩陣，因?yàn)榍皟尚械姆橇阍牧刑?hào)都為2
0 0 0
0 1 0
0 0 2
是對(duì)角矩陣，但零行在上面的確不一定是
2矩陣的跡性質(zhì)
1.跡是所有主對(duì)角元素的和
2.跡是所有特征值的和
3.某些時(shí)候也利用tr(AB)=tr(BA)來(lái)求跡
4.tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）
(2)奇異值分解（Singular value decomposition ）
奇異值分解非常有用，對(duì)于矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對(duì)角陣與增廣行或列組成），滿足A = U*B*V
U和V中分別是A的奇異向量，而B(niǎo)是A的奇異值。AA'的特征向量組成U，特征值組成B'B，A'A的特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成BB'。因此，奇異值分解和特征值問(wèn)題緊密聯(lián)系。
如果A是復(fù)矩陣，B中的奇異值仍然是實(shí)數(shù)。
SVD提供了一些關(guān)于A的信息，例如非零奇異值的數(shù)目（B的階數(shù)）和A的階數(shù)相同，一旦階數(shù)確定，那么U的前k列構(gòu)成了A的列向量空間的正交基。
(3)在數(shù)值分析中，由于數(shù)值計(jì)算誤差，測(cè)量誤差，噪聲以及病態(tài)矩陣，零奇異值通常顯示為很小的數(shù)目。
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