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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)集合大小定義的基本要求(2)

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2019-05-07 10:55:50


  如果我們在上面幾條要求中,再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

  我們想像平面上有條射線,射線的一端是原點,然后在上面我們每隔一厘米畫一個點,并在每個點旁邊標(biāo)上1、2、3……等,這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求,任何兩個集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到,這其實是一條數(shù)軸的正半軸,上面的點就是代表自然數(shù)的那些點,所以這些點的個數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個數(shù)相同。而且,按照“整體大于部分”的規(guī)定,那些標(biāo)有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規(guī)定,如果我們一開始就每隔一分米畫一個點,順著上面的思路,這些點的個數(shù)也該和自然數(shù)一樣多,但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標(biāo)有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的,所以它們的個數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

  再舉一個例子。假設(shè)我給你一個大口袋,里面有無限多個小口袋,上面按照自然數(shù)標(biāo)了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子,2號口袋中有2粒豆子,……依次類推,F(xiàn)在我當(dāng)著你的面拿掉1號小口袋,那么剩下的小口袋數(shù)和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點,應(yīng)該是少了,少一條。但是如果我當(dāng)初就背著你拿掉1號口袋,然后從其他每個小口袋中取出一粒豆子,再把小口袋上的號碼改掉,2改成1,3改成2……,然后再把大口袋給你,你顯然不會知道我做了手腳,因為這時大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別,所以小口袋的數(shù)量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了,從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個比方,大口袋就是一個集合。按照上面的要求,集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身,而不應(yīng)該取決于集合的表示方法或構(gòu)造方法,也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋,也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量,而不用知道我是否做過手腳。

  這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn),如果堅持“整體大于部分”的話,固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時,比如比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個數(shù)時,符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如說,x'=x+1這樣一個數(shù)軸上的坐標(biāo)平移,會將坐標(biāo)上的點集{1,2,3……}變?yōu)閧2,3,4……},一個坐標(biāo)平移居然可以變動點集中元素的個數(shù)!“元素可以一一對應(yīng)的兩個集合大小相同”這條原理的失效,會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從:怎樣不使用一一對應(yīng)的方法來比較自然數(shù)和數(shù)軸上(0,1)區(qū)間中點的個數(shù)?

  在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺,對于無限集合來說,從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個點的例子,如果我們把不是10的倍數(shù)的點去掉,然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一,我們就重新得到了原來的那個點集。在裝豆子的口袋的例子中,只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子,我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點:從某種意義上來說,它和自己的一部分相似。事實上,無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中,違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪,因為這恰好就是無限集合的特征。

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