高中數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性如何證明

高中數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性如何證明

在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到指數(shù)函數(shù)，但是還是有很多同學(xué)不太理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，究竟該如何證明。下面有途網(wǎng)小編為大家解答一下關(guān)于指數(shù)函數(shù)的知識。

高中指數(shù)函數(shù)單調(diào)性證明

y=2^x 求證單調(diào)性,我正在上高一,能否用簡單一點的,比如利用單調(diào)性的定義,還有,我在證明時遇到的情況也說一下,以下為錯解：

解法一：設(shè)x10 f(x1)-f(x2)=2^x1-2^x2=2^x1(1-x^c) ∵c>0 ∴10 f(x1)除以f(x2)=2^(x1-x2) ∵x1-x2<0 ∴2^(x1-x2)<2^0=1 (這不也是利用單調(diào)性么,利用單調(diào)性證明單調(diào)性?)

求單調(diào)性定義的正解

這兩種證明方法都沒有循環(huán)論證的問題.兩種證明方法中,我們用到的性質(zhì)都是2的正數(shù)次冪大于1,這個性質(zhì)并不是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的一個推論,而是可以從指數(shù)的定義中直接得出來的.問題在于,高中階段根本無法解釋像2的根號2次方怎么定義的問題,所以才不能直接證明這個性質(zhì).因為有理數(shù)次冪是有定義的,所以下面可以給出一個證明2的正有理數(shù)次冪大于1的證明：

1、2的正整數(shù)次冪大于1.這個可以用歸納法來證明.n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^(k+1)>2>1,從而對正整數(shù),命題成立.

2、小于1的正數(shù)的正整數(shù)次冪小于1.這個也可以用歸納證明.

3、2的正有理數(shù)次冪大于1.這個可以用反證法證明.(1)2的正有理數(shù)次冪大于0.(這個看起來顯然,不過還是需要證明的).(2)假若,存在2的某正有理數(shù)次冪小于1,則其為小于1的正數(shù),從而它的任意次冪均小于1,而有理數(shù)在乘上一個適當(dāng)?shù)臄?shù)之后就是正數(shù),所以,這個數(shù)的某次方肯定是2的正整數(shù)次方,而這樣一來,就會有2的正整數(shù)次方小于1的情況出現(xiàn).這是和第1點矛盾的.所以,可以知道2的正有理數(shù)次方都是大于1的.命題推廣到無理數(shù),那不是我能夠說給你懂的啦.

可見,你給出的兩種證明單調(diào)性的方法都沒有循環(huán)論證的問題.