高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)萬能公式

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)萬能公式

三角及其御用函數(shù)無疑是高中數(shù)學(xué)舉足輕重的戲份之一，對于一個至少盤踞著兩本必修而且還攜帶著為數(shù)眾多公式招搖過市的家伙，這難道不足以引起重視嗎?下文有途網(wǎng)小編給大家整理了《高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)萬能公式》，僅供參考!

數(shù)學(xué)三角函數(shù)萬能公式一、

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式，只需將一式，左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

(4)對于任意非直角三角形，總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

數(shù)學(xué)三角函數(shù)萬能公式二、

設(shè)tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) (A=?2kπ+π，k∈Z)

tanA=2t/(1-t^2) (A=?2kπ+π，k∈Z)

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A=?2kπ+π k∈Z)

就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來表示,當(dāng)要求一串函數(shù)式最值的時候,就可以用萬能公式,推導(dǎo)成只含有一個變量的函數(shù),最值就很好求了.

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)萬能公式

證明

得證

同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關(guān)系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

證明

由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

得 (sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2-2sinAsinBcosC=0

轉(zhuǎn)化 1-(cosA)^2+1-(cosB)^2-[1-(cosC)^2]-2sinAsinBcosC=0

即 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2sinAsinBcosC-1=0

又 cos(C)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

得 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2cosC[cos(C)+cosAcosB]-1=0

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

得證

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

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