數(shù)學最易失分知識點和易混易錯點（一）

　　1遺忘空集致誤

　　由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=？時也滿足B？A。解含有參數(shù)的集合問題時，要特別注意當參數(shù)在某個范圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況。

　　2忽視集合元素的三性致誤

　　集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。

　　3混淆命題的否定與否命題

　　命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結論。

　　4充分條件、必要條件顛倒致誤

　　對于兩個條件A，B，如果A？B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果B？A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；如果A？B，則A，B互為充分必要條件。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷。

　　5“或”“且”“非”理解不準致誤

　　命題p∨q真？p真或q真，命題p∨q假？p假且q假(概括為一真即真)；命題p∧q真？p真且q真，命題p∧q假？p假或q假(概括為一假即假)；綈p真？p假，綈p假？p真(概括為一真一假)。求參數(shù)取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來進行理解，通過集合的運算求解。

　　6函數(shù)的單調區(qū)間理解不準致誤

　　在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到“函數(shù)的圖像”，學會從函數(shù)圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對于函數(shù)的幾個不同的單調遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調遞增(減)區(qū)間即可。

　　7判斷函數(shù)奇偶性忽略定義域致誤

　　判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

　　8函數(shù)零點定理使用不當致誤

　　如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，但f(a)f(b)>0時，不能否定函數(shù)y=f(x)在(a，b)內有零點。函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點問題時要注意這個問題。

　　9三角函數(shù)的單調性判斷致誤

　　對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調性，當ω>0時，由于內層函數(shù)u=ωx+φ是單調遞增的，所以該函數(shù)的單調性和y=sinx的單調性相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調區(qū)間解決；但當ω<0時，內層函數(shù)u=ωx+φ是單調遞減的，此時該函數(shù)的單調性和函數(shù)y=sinx的單調性相反，就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調性解決，一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對于帶有絕對值的三角函數(shù)應該根據(jù)圖像，從直觀上進行判斷。

　　10忽視零向量致誤

　　零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實數(shù)中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會出錯，考生應給予足夠的重視。

　　11向量夾角范圍不清致誤

　　解題時要全面考慮問題。數(shù)學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意θ=π的情況。

　　12an與Sn關系不清致誤

　　在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。這個關系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個關系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經常出錯的一個地方，在使用這個關系式時要牢牢記住其“分段”的特點。

　　13對數(shù)列的定義、性質理解錯誤

　　等差數(shù)列的前n項和在公差不為零時是關于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù)；一般地，有結論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”；在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差數(shù)列。

　　14數(shù)列中的最值錯誤

　　數(shù)列問題中其通項公式、前n項和公式都是關于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是高考的命題重點，解題時要注意把n=1和n≥2分開討論，再看能不能統(tǒng)一。在關于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠近而定。

　　15錯位相減求和項處理不當致誤

　　錯位相減求和法的適用條件：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積所組成的，求其前n項和。基本方法是設這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n-1項和為主的求和問題.這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯位相減后對剩余項的處理。

　　16不等式性質應用不當致誤

　　在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要準確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質成立的前提條件就會出現(xiàn)錯誤。

　　17忽視基本不等式應用條件致誤

　　利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負)，ab或a+b其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a，b>0)的函數(shù)，在應用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，bx的符號，必要時要進行分類討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內等號能否取到。

　　18不等式恒成立問題致誤

　　解決不等式恒成立問題的常規(guī)求法是：借助相應函數(shù)的單調性求解，其中的主要方法有數(shù)形結合法、變量分離法、主元法。通過最值產生結論。應注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)-g(x)≤0的恒成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，即f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關系。

　　19忽視三視圖中的實、虛線致誤

　　三視圖是根據(jù)正投影原理進行繪制，嚴格按照“長對正，高平齊，寬相等”的規(guī)則去畫，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，且分界線和可視輪廓線都用實線畫出，不可見的輪廓線用虛線畫出，這一點很容易疏忽。

　　20面積體積計算轉化不靈活致誤

　　面積、體積的計算既需要學生有扎實的基礎知識，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要題型.因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法。(1)還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法。(2)割補法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時常用。(3)等積變換法：充分利用三棱錐的任意一個面都可作為底面的特點，靈活求解三棱錐的體積。(4)截面法：尤其是關于旋轉體及與旋轉體有關的組合問題，常畫出軸截面進行分析求解。

　　21隨意推廣平面幾何中結論致誤

　　平面幾何中有些概念和性質，推廣到空間中不一定成立.例如“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質在空間中就不成立。

　　22對折疊與展開問題認識不清致誤

　　折疊與展開是立體幾何中的常用思想方法，此類問題注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關系的變化。

　　23點、線、面位置關系不清致誤

　　關于空間點、線、面位置關系的組合判斷類試題是高考全面考查考生對空間位置關系的判定和性質掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞，解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應用準確、考慮問題全面細致。

　　24忽視斜率不存在致誤

　　在解決兩直線平行的相關問題時，若利用l1∥l2？k1=k2來求解，則要注意其前提條件是兩直線不重合且斜率存在。如果忽略k1，k2不存在的情況，就會導致錯解。這類問題也可以利用如下的結論求解，即直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0平行的必要條件是A1B2-A2B1=0，在求出具體數(shù)值后代入檢驗，看看兩條直線是不是重合從而確定問題的答案。對于解決兩直線垂直的相關問題時也有類似的情況。利用l1⊥l2？k1·k2=-1時，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在。利用直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0，就可以避免討論。

　　25忽視零截距致誤

　　解決有關直線的截距問題時應注意兩點：一是求解時一定不要忽略截距為零這種特殊情況；二是要明確截距為零的直線不能寫成截距式。因此解決這類問題時要進行分類討論，不要漏掉截距為零時的情況。

　　26忽視圓錐曲線定義中條件致誤

　　利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件。如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|。如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支。

　　27誤判直線與圓錐曲線位置關系

　　過定點的直線與雙曲線的位置關系問題，基本的解決思路有兩個：一是利用一元二次方程的判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為零，當二次項系數(shù)為零時，直線與雙曲線的漸近線平行(或重合)，也就是直線與雙曲線最多只有一個交點；二是利用數(shù)形結合的思想，畫出圖形，根據(jù)圖形判斷直線和雙曲線各種位置關系。在直線與圓錐曲線的位置關系中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時要注意，不要忘記其特殊性。

　　28兩個計數(shù)原理不清致誤

　　分步加法計數(shù)原理與分類乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題最基本的原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提，在解題時，要分析計數(shù)對象的本質特征與形成過程，按照事件的結果來分類，按照事件的發(fā)生過程來分步，然后應用兩個基本原理解決.對于較復雜的問題既要用到分類加法計數(shù)原理，又要用到分步乘法計數(shù)原理，一般是先分類，每一類中再分步，注意分類、分步時要不重復、不遺漏，對于“至少、至多”型問題除了可以用分類方法處理外，還可以用間接法處理。

　　29排列、組合不分致誤

　　為了簡化問題和表達方便，解題時應將具有實際意義的排列組合問題符號化、數(shù)學化，建立適當?shù)哪Ｐ�，再應用相關知識解決.建立模型的關鍵是判斷所求問題是排列問題還是組合問題，其依據(jù)主要是看元素的組成有沒有順序性，有順序性的是排列問題，無順序性的是組合問題。

　　30混淆項系數(shù)與二項式系數(shù)致誤

　　在二項式(a+b)n的展開式中，其通項Tr+1=Crnan-rbr是指展開式的第r+1項，因此展開式中第1，2，3，...，n項的二項式系數(shù)分別是C0n，C1n，C2n，...，Cn-1n，而不是C1n，C2n，C3n，...，Cnn。而項的系數(shù)是二項式系數(shù)與其他數(shù)字因數(shù)的積。

　　31循環(huán)結束判斷不準致誤

　　控制循環(huán)結構的是計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結束的條件。在解答這類題目時首先要弄清楚這兩個變量的變化規(guī)律，其次要看清楚循環(huán)結束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結束還是不滿足條件時結束。

　　32條件結構對條件判斷不準致誤

　　條件結構的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進行的，其中沒有遺漏也沒有重復，在解題時對判斷條件要仔細辨別，看清楚條件和函數(shù)的對應關系，對條件中的數(shù)值不要漏掉也不要重復了端點值。

　　33復數(shù)的概念不清致誤

　　對于復數(shù)a+bi(a，b∈R)，a叫做實部，b叫做虛部；當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a，b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)。解決復數(shù)概念類試題要仔細區(qū)分以上概念差別，防止出錯。另外，i2=-1是實現(xiàn)實數(shù)與虛數(shù)互化的橋梁，要適時進行轉化，解題時極易丟掉“-”而出錯。

　　66個易混易錯點匯總

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　　一、集合與函數(shù)

　　1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解。

　　2.在應用條件時，易忽略是空集的情況

　　3.你會用補集的思想解決有關問題嗎？

　　4.簡單命題與復合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關系是什么？如何判斷充分與必要條件？

　　5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別。

　　6.求解與函數(shù)有關的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則。

　　7.判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關于原點對稱。

　　8.求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略標注該函數(shù)的定義域。

　　9.原函數(shù)在區(qū)間[-a，a]上單調遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調。

　　10.你熟練地掌握了函數(shù)單調性的證明方法嗎？定義法(取值，作差，判正負)和導數(shù)法

　　11.求函數(shù)單調性時，易錯誤地在多個單調區(qū)間之間添加符號“∪”和“或”；單調區(qū)間不能用集合或不等式表示。

　　12.求函數(shù)的值域必須先求函數(shù)的定義域。

　　13.如何應用函數(shù)的單調性與奇偶性解題？①比較函數(shù)值的大小；②解抽象函數(shù)不等式；③求參數(shù)的范圍(恒成立問題)。這幾種基本應用你掌握了嗎？

　　14.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？

　　(真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1)字母底數(shù)還需討論

　　15.三個二次(哪三個二次？)的關系及應用掌握了嗎？如何利用二次函數(shù)求最值？

　　16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數(shù)的范圍。

　　17.“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉化時，你是否注意到：當時，“方程有解”不能轉化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數(shù)或二次不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為的零的情形？

　　二、不等式

　　18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正；二定；三等”。

　　19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么？

　　20.解分式不等式應注意什么問題？用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項是什么？

　　21.解含參數(shù)不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)的單調性為基礎，分類討論是關鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是……”。

　　22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示；不能用不等式表示。

　　23.兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能相乘，即同向同正可乘；同時要注意“同號可倒”。