數(shù)學(xué)邏輯用語匯編:充分條件與必要條件系(2)
來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 10:28:49
16.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)∵ ,a2-a1=2,但a3-a2=-1≠2,數(shù)列{an}不具有性質(zhì)P(2);
同理可得,數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(4).
。á颍ú怀浞中裕⿲τ谥芷跀(shù)列1,1,2,2,1,1,2,2,…,T={-1,0,1}是有限集,但是由于a2-a1=0,a3-a2=1,
所以不具有性質(zhì)P(0);
。ū匾裕┮驗閿(shù)列{an}具有性質(zhì)P(0),
所以一定存在一組最小的且m>k,滿足am-ak=0,即am=ak
由性質(zhì)P(0)的含義可得am+1=ak+1,am+2=ak+2,…,a2m-k-1=am-1,a2m-k=am,…
所以數(shù)列{an}中,從第k項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律:ak,ak+1,…,am-1為一個周期中的各項,
所以數(shù)列{an}中最多有m-1個不同的項,
所以T最多有 個元素,即T是有限集.
(Ⅲ)因為數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(2),數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(5),
所以存在M′、N′,使得aM'+p-aM'=2,aN'+q-aN'=5,其中p,q分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù),
由性質(zhì)P(2),P(5)的含義可得,aM'+p+k-aM'+k=2,aN'+q+k-aN'+k=5,
若M'<N',則取k=N'-M',可得aN'+p-aN'=2;
若M'>N',則取k=M'-N',可得aM'+q-aM'=5.
記M=max{M',N'},則對于aM,有aM+p-aM=2,aM+q-aM=5,顯然p≠q,
由性質(zhì)P(2),P(5)的含義可得,aM+p+k-aM+k=2,aN+q+k-aN+k=5,
所以aM+qp-aM=(aM+qp-aM+(q-1)p)+(aM+(q-1)p-aM+(q-2)p)+…+(aM+p-aM)=2qaM+qp-aM=(aM+pq-aM+(p-1)q)+(aM+(p-1)q-aM+(p-2)q)+…+(aM+q-aM)=5p
所以aM+qp=aM+2q=aM+5p.
所以2q=5p,
又p,q是滿足aM+p-aM=2,aM+q-aM=5的最小的正整數(shù),
所以q=5,p=2,aM+2-aM=2,aM+5-aM=5,
所以,aM+2+k-aM+k=2,aM+5+k-aM+k=5,
所以,aM+2k=aM+2(k-1)+2=…=aM+2k,aM+5k=aM+5(k-1)+5=…=aM+5k,
取N=M+5,則,
所以,若k是偶數(shù),則aN+k=aN+k;
若k是奇數(shù),則aN+k=aN+5+(k-5)=aN+5+(k-5)=aN+5+(k-5)=aN+k,
所以,aN+k=aN+k
所以aN,aN+1,aN+2,…,aN+k,…是公差為1的等差數(shù)列.
17.解:對于集合A,由m2-am<12a2,故(m-4a)(m+3a)<0,
對于集合B,解 ,解得:-4<m<2;
、賏>0時,集合A:-3a<m<4a,
若"m∈A"是"m∈B"的充分不必要條件,
則 ,解得:0<a< ;
、赼<0時,集合A:a<m<-3a,
若"m∈A"是"m∈B"的充分不必要條件,
則 ,解得:- <a<0,
綜上:a∈(- ,0)∪(0, ).
18.解:(1)p:a<x<3a,q:2<x≤3,
故¬q:x>3或x≤2
∵p是¬q的充分不必要條件,
∴3a≤2或a≥3,
解得:0<a≤ 或a≥3,
即實數(shù)a的取值范圍是(0, ]∪[3,+∞).
。2)p:f′(x)=x2+mx+1,函數(shù)無極值,
得到△=m2-4≤0,解得:-2≤m≤2,
q:0<m<1,
若p或q為真命題,p且q為假命題,
則p,q一真一假,
故 或 ,
解得:-2≤m≤0或1≤m≤2,
故答案為:[-2,0]∪[1,2].
19.解:(1)由|3x-4|>2得3x-4>2或3x-4<-2,
即x>2或x< ,即p: ≤x≤2
由q: >0得x2-x-2>0得x>2或x<-1,即q:-1≤x≤2,
則p是q的充分不必要條件.
。2)由(x-a)(x-a-1)≥0得x≤a或x≥a+1,即r:x≤a或x≥a+1,
若r是p的必要非充分條件,
即a≥2或a+1≤ ,
即a≥2或a≤- ,
即實數(shù)a的取值范圍是a≥2或a≤- .
20.解:(1) (2分)
當(dāng)a=1時,Q={x|(x-1)(x-2)≤0}={x|1≤x≤2}(4分)
則P∩Q={1}(6分)
。2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x-a)(x-a-1)≤0}={x|a≤x≤a+1}(8分)
∵x∈P是x∈Q的充分條件,∴P?Q(9分)
∴ ,即實數(shù)a的取值范圍是 (12分)
21.解:(I)由x2-4ax+3a2<0,其中a>0;化為(x-3a)(x-a)<0,解得a<x<3a.a(chǎn)=1時,1<x<3.
q:實數(shù)x滿足 ,化為: ,解得2<x≤3.
當(dāng)p∧q為真,則 ,解得2<x<3.
∴實數(shù)x的取值范圍是(2,3).
。↖I)∵q是p的充分不必要條件,∴ ,解得1<a≤2.
∴實數(shù)a的取值范圍是(1,2].
22.解:(1)若a=1,由x2-4x+3<0得:1<x<3,∴P=(1,3)--------------(2分)
由 ≤0得:2<x≤3;∴Q=(2,3]-------------------------------------------------------------(4分)
∴P∩Q=(2,3)---------------------------------------(5分)
。2)¬q為:實數(shù)x滿足x≤2,或x>3;
¬p為:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2≥0,并解x2-4ax+3a2≥0得x≤a,或x≥3a-----------------(7分)
¬p是¬q的充分不必要條件,所以a應(yīng)滿足:a≤2,且3a>3,解得1<a≤2---------------(9分)
∴a的取值范圍為:(1,2]----------------------------------(10分)
23.解:(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,
當(dāng)a=1時,解得1<x<3,即p為真時,實數(shù)x的取值范圍是1<x<3,…(1分)
由 ,得2<x≤3,即q為真時,實數(shù)x的取值范圍是2<x≤3,…(3分)
若p∧q為真,則p真且q真,…(4分)
∴實數(shù)x的取值范圍是(2,3).…(5分)
。2)p是q的必要不充分條件,即q?p,且p推不出q,
設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},則A?B,…(7分)
又B=(2,3],當(dāng)a>0時,A=(a,3a);a<0時,A=(3a,a),
∴當(dāng)a>0時,有 ,解得1<a≤2;…(9分)
當(dāng)a<0時,A∩B=?,不合題意;
∴實數(shù)a的取值范圍是(1,2].…(10分)
24.解:(I)命題p:實數(shù)x滿足x2-5ax+4a2<0,其中a>0,a<x<4a,解集A=(a,4a).
命題q:實數(shù)x滿足 ,解得2<x≤4.解集B=(2,4].
a=1,且p∧q為真,則A∩B=(1,4)∩(2,4]=(2,4).
∴實數(shù)x的取值范圍是(2,4).
(Ⅱ)¬p:(-∞,a]∪[4a,+∞).
¬q:(-∞,2]∪(4,+∞).
若¬p是¬q的充分不必要條件,則 ,解得1≤a≤2.
∴實數(shù)a的取值范圍是[1,2].
25.解:命題p:x2-8x-20≤0,解得:-2≤x≤10.
命題q:(x-1-m)(x-1+m)≤0(m>0),解得:1-m≤x≤1+m.
若q是p的充分而不必要條件,∴ ,解得m≤3.
∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,3].
26.解:(1)由(x+1)(2-x)≥0,
解得:-1≤x≤2,
故p為真時:x∈[-1,2];
若關(guān)于x的不等式x2+2mx-m+6>0恒成立,
則△=4m2-4(-m+6)<0,
解得:-3<m<2,
。1)故q為真時,m∈(-3,2);
。2)若p是q的充分不必要條件,
即p?q,
由p:[-1,2]?(-3,2],
故m∈(-3,2].
27.證明:a=0時,方程化為2x+1=0,解得x= ,滿足條件.
a≠0時,關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個實根的充要條件為△=4-4a≥0,解得a≤1,a≠0.
綜上可得:關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個實根的充要條件為a≤1.
28.證明:∵x2+mx+m+3=0有兩個不相等的實數(shù)解,
∴△=m2-4(m+3)>0,
∴(m+2)(m-6)>0.
解得m<-2或m>6.
∴方程x2+mx+m+3=0有兩個不相等的實數(shù)解的充要條件是m<-2或m>6.
29.解2x2-3x+1≤0?(2x-1)(x-1),解得 ≤x≤1,
∵(x-a)(x-a-1)≤0?a≤x≤a+1,
由p是q的必要不充分條件,從而p是q的充分不必要條件,
∴ ,
解得0≤a≤ ,
故實數(shù)a的取值范圍為[0, ].
30.解:(1)由x-a<0,得x<a.當(dāng)a=2時,x<2,即p為真命題時,x<2.
由x2-4x+3≤0得1≤x≤3,所以q為真時,1≤x≤3.
若p∧q為真,則1≤x<2
所以實數(shù)x的取值范圍是[1,2).
(2)設(shè)A=(-∞,a),B=[1,3],q是p的充分不必要條件,
所以B?A,從而a>3.
所以實數(shù)a的取值范圍是(3,+∞).
31.證明:充分性:…(2分)
如果△ABC為等邊三角形,那么a=b=c,
所以,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
所以,a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca.…(5分)
必要性:…(7分)
如果a2+b2+c2=ab+bc+ca,那么a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
所以a=b=0,b-c=0,c-a=0.
即 a=b=c.…(10分)
32.解:∵p是q的必要條件
∴p?q
即p?q
由p:-2≤x≤10
q:1-m≤x≤m+1
得
解得m≥9
33.解:p:實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0(a>0),解得:a<x<3a.
q:實數(shù)x滿足|x-3|>1,解得x>4或x<2.
若p是q的充分不必要條件,則a≥4或 ,
解得a≥4,或 .
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥4,或 .
34.解:(1)∵對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,
∴B(n)-A(n)=C(n)-B(n),
即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4.
故數(shù)列{an}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,于是an=1+(n-1)×4=4n-3.
。2)證明:(必要性):若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,對任意n∈N*,有an+1=anq.由an>0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是 = = =q, = = =q,
即 = =q,
∴三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列;
(充分性):若對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,則
B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),
于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],即an+2-a2=q(an+1-a1),亦即an+2-qan+1=a2-qa1.
由n=1時,B(1)=qA(1),即a2=qa1,從而an+2-qan+1=0.
∵an>0,
∴ = =q.故數(shù)列{an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列.
綜上所述,數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.
35.解:由4x2+12x-7≤0,解得:- ≤x≤ ,q:a-3≤x≤a+3.
。1)當(dāng)a=0時,q:-3≤x≤3,
若p真q假,則- ≤x<-3;
。2)若p是q的充分條件,
則 ,
解得:- ≤x≤- ,
36.解:由x2-4ax+3a2<0(a>0)得(x-a)(x-3a)<0,
得a<x<3a,a>0,則p:a<x<3a,a>0.
由 得 ,解得2<x≤3.
即q:2<x≤3.
。1)若a=1,則p:1<x<3,
若p∧q為真,則p,q同時為真,
即 ,解得2<x<3,
∴實數(shù)x的取值范圍(2,3).
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,即q是p的充分不必要條件,
∴ ,即 ,
解得1<a≤2.
37.解:p:|1- |<2即為p:-2<x<10,
q:x2-2x+1-m2<0即為(x-1)2<m2,即q:1-|m|<x<1+|m|,
q是p的充分非必要條件,
∴ (兩式不能同時取等號)
得到|m|≤3,滿足題意,
所以m的范圍為[-3,3].
38.解:x2-3(a+1)x+6a+2≤0,化為(x-2)[x-(3a+1)]≤0,
設(shè)A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0},∵p是q的充分條件,∴A?B.
(1)當(dāng)a≥ 時,B={x|2≤x≤3a+1},∴ ,解得1≤a≤3.
(2)當(dāng)a< 時,B={x|3a+1≤x≤2},∴ ,解得a=-1.
∴實數(shù)a取值范圍是{a|1≤a≤3,或a=-1}.
39.解:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為?,
∴△=(a-1)2-4a2<0,
即3a2+2a-1>0,
解得a<-1或a> ,
∴p為真時a<-1或a> ;
又函數(shù)y=(2a2-a)x為增函數(shù),
∴2a2-a>1,
即2a2-a-1>0,
解得a<- 或a>1,
∴q為真時a<- 或a>1;
(1)∵p∨q是真命題且p∧q是假命題,∴p、q一真一假,
∴當(dāng)P假q真時, ,即-1≤a<- ;
當(dāng)p真q假時, ,即 <a≤1;
∴p∨q是真命題且p∧q是假命題時,a的范圍是-1≤a<- 或 <a≤1;
。2)∵ ,
∴ -1≤0,
即 ,
解得-1≤a<2,
∴a∈[-1,2),
∵p為真時-1≤a≤ ,
由[-1, )是[-1,2)的真子集,
∴p?r,且r≠>p,
∴命題p是命題r成立的一個充分不必要條件.
40.解:(1)p:實數(shù)x滿足x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.可得解集A=[-1,2],
q:實數(shù)x滿足 ,化為x(x-3)<0,解得0<x<3,可得解集B=(0,3).
∴A∩B=(0,2].
∵p∧q為真,∴實數(shù)x的取值范圍是(0,2].
。2)由r:實數(shù)x滿足[x-(a+1)][x+(2a-1)]≤0,其中a>0,可得解集C=[-2a+1,a+1].
∵p是r的充分不必要條件,∴應(yīng)有A?C,
可得 ,或 ,
解得a>1,故實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.
41.解:由條件q可得 ,
∵¬p是q的充分條件,
∴在 ≤x≤ 的條件下,得 恒成立,
∵f(x)=2[1-cos( +2x)]-2 cos2x-1
=2sin2x-2 cos2x+1
=4sin(2x- )+1.
又∵ ≤x≤ ,
∴ ≤2x- ≤ ,
即3≤4sin(2x- )+1≤5,即3≤f(x)≤5,
∴只需 成立,
即2<m<6,
∴m的取值范圍為(2,6)
42.解:因為p是q的必要不充分條件,所以p是q充分不必要條件…(2分)
由已知△=4a2-16(2a+5)≤0,∴-2≤a≤10…..(6分)
所以[-2,10]是[1-m,1+m]的真子集…(8分)
因此有
所以實數(shù)m的取值范圍是[9,+∞)….(12分).
43.解:由x2-8x-20≤0,得:-2≤x≤10,
故P=[-2,10].
由x2-2x+1-m2≤0,得:1-m≤x≤1+m(m>0).
故Q=[1-m,1+m].
若p是q的必要不充分條件,
則Q?P
即
解得:0<m≤3.
故實數(shù)m的取值范圍為:(0,3]
44.解:由p:x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∵p是q的充分不必要條件,
∴[-2,10]?[1-m,1+m].
則 ,或 ,
解得m≥9.
故實數(shù)m的取值范圍為[9,+∞).
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