高考數(shù)學高分方法:高中函數(shù)值域的求法
2016-03-11 12:22:13學優(yōu)高考網(wǎng)
一.觀察法
通過對函數(shù)定義域、性質的觀察,結合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域。
點撥:根據(jù)算術平方根的性質,先求出√(2-3x)的值域。
解:由算術平方根的性質,知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3。
∴函數(shù)的知域為.
點評:算術平方根具有雙重非負性,即:(1)被開方數(shù)的非負性,(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解,這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法,簡捷明了,不失為一種巧法。
練習:求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域為:{0,1,2,3,4,5})
二.反函數(shù)法
當函數(shù)的反函數(shù)存在時,則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。
解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1,y∈R}。
點評:利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學解題的重要方法之一。
練習:求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域為{y∣y<-1或y>1})
三.配方法
當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域
例3:求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥:將被開方數(shù)配方成平方數(shù),利用二次函數(shù)的值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]
點評:求函數(shù)的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數(shù)學的一種重要的思想方法。
練習:求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化為關于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥:將原函數(shù)轉化為自變量的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。
解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)
當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2
當y=2時,方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2
點評:把函數(shù)關系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實數(shù)解,故其判別式為非負數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。
練習:求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域為y≤-8或y>0)。
五.值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的較值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的值,可得到函數(shù)y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。
解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小。
當x=-1時,z=-5;當x=3/2時,z=15/4。
∴函數(shù)z的值域為{z∣-5≤z≤15/4}。
點評:本題是將函數(shù)的值域問題轉化為函數(shù)的值。對開區(qū)間,若存在值,也可通過求出值而獲得函數(shù)的值域。
練習:若√x為實數(shù),則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為()
A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)
(答案:D)。
六.圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象,運用數(shù)形結合的方法得到函數(shù)的值域。
例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
點撥:根據(jù)值的意義,去掉符號后轉化為分段函數(shù),作出其圖象。
解:原函數(shù)化為-2x+1(x≤1)
y=3(-1
2x-1(x>2)
它的圖象如圖所示。
顯然函數(shù)值y≥3,所以,函數(shù)值域[3,+∞]。
點評:分段函數(shù)應注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象
求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結合的思想。是解決問題的重要方法。
求函數(shù)值域的方法較多,還適應通過不等式法、函數(shù)的單調性、換元法等方法求函數(shù)的值域。
七.單調法
利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥:由已知的函數(shù)是復合函數(shù),即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域為x≤1/3,在此區(qū)間內分別討論函數(shù)的增減性,從而確定函數(shù)的值域。
解:設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數(shù),從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x
在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù),而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數(shù)值域為{y|y≤4/3}。
點評:利用單調性求函數(shù)的值域,是在函數(shù)給定的區(qū)間上,或求出函數(shù)隱含的區(qū)間,結合函數(shù)的增減性,求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值,進而可確定函數(shù)的值域。
練習:求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})
八.換元法
以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進而求出值域。
例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。
點撥:通過換元將原函數(shù)轉化為某個變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的值,確定原函數(shù)的值域。
解:設t=√2x+1(t≥0),則
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函數(shù)的值域為{y|y≥-7/2}。
點評:將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉化為二次函數(shù),通過求出二次函數(shù)的值,從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習:求函數(shù)y=√x-1–x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}
九.構造法
根據(jù)函數(shù)的結構特征,賦予幾何圖形,數(shù)形結合。
例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點撥:將原函數(shù)變形,構造平面圖形,由幾何知識,確定出函數(shù)的值域。
解:原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一個長為4、寬為3的矩形ABCD,再切割成12個單位
正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,
KC=√(x+2)2+1。
由三角形三邊關系知,AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共
線時取等號。
∴原函數(shù)的知域為{y|y≥5}。
點評:對于形如函數(shù)y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù)),均可通過構造幾何圖形,由幾何的性質,直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)。
練習:求函數(shù)y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})
十.比例法
對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉化為比例式,代入目標函數(shù),進而求出原函數(shù)的值域。
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。
點撥:將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式,設置參數(shù),代入原函數(shù)。
解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
當k=-3/5時,x=3/5,y=-4/5時,zmin=1。
函數(shù)的值域為{z|z≥1}.
點評:本題是多元函數(shù)關系,一般含有約束條件,將條件轉化為比例式,通過設參數(shù),可將原函數(shù)轉化為單函數(shù)的形式,這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,具有一定的創(chuàng)新意識。
練習:已知x,y∈R,且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})
十一.利用多項式的除法
例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥:將原分式函數(shù),利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。
解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0,故y≠3。
∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。
點評:對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。
練習:求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)
十二.不等式法
例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),根據(jù)自變量的取值范圍,構造不等式。
解:易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],
由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)>0
1-x≠0
解得,0
∴函數(shù)的值域(0,1)。
點評:考查函數(shù)自變量的取值范圍構造不等式(組)或構造重要不等式,求出函數(shù)定義域,進而求值域。不等式法是重要的解題工具,它的應用非常廣泛。是數(shù)學解題的方法之一。
以下供練習選用:求下列函數(shù)的值域
1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})
2.Y=2x/(2x-1)。(y>1或y<0)
注意變量哦