數(shù)學學習方法的探索

    本文著重闡述了中學數(shù)學素質(zhì)教學中數(shù)學學習方法的探索從數(shù)學教學的角度、數(shù)學本身的角度、數(shù)學學習的角度、數(shù)學內(nèi)容的性質(zhì)角度等四個方面如何實施數(shù)學學習方法的指導談談自己的認識。

    近幾年來，旨在教會學生會學習、提高學生自學能力的學法指導的研究和實踐已是基礎(chǔ)教育改革的一個熱門課題。這一課題的提出和研究，不僅對當前提高基礎(chǔ)教育質(zhì)量、實施素質(zhì)教育具有現(xiàn)實意義，而且對培養(yǎng)未來社會發(fā)展所需要的人才、促進科教興國具有歷史意義。隨著社會、經(jīng)濟、科技的高速發(fā)展，數(shù)學的應用越來越廣，地位越來越高，作用越來越大。不僅如此，數(shù)學教育的實踐和歷史還表明，數(shù)學作為一種文化，對人的全面素質(zhì)的提高具有巨大的影響。因此，提高基礎(chǔ)教育中的數(shù)學教學質(zhì)量，就顯得尤為重要�？赡壳坝捎谑�“應試教育”的影響，數(shù)學教學中違背教育規(guī)律的現(xiàn)象和做法時有發(fā)生，為此更新數(shù)學教學思想、完善數(shù)學教學方法就顯得更加迫切。在數(shù)學教學中，開展學法指導，正是改革數(shù)學教學的一個突破口。

    一、對數(shù)學教學如何實施數(shù)學學習方法的指導，人們進行了許多有益的探索和實驗。首先是通過觀察、調(diào)查，歸納總結(jié)了中學生數(shù)學學習中存在的問題，如“學習懶散，不肯動腦；不訂計劃，慣性運轉(zhuǎn)；忽視預習，坐等上課；不會聽課，事倍功半；死記硬背，機械模仿；不懂不問，一知半解；不重基礎(chǔ)，好高騖遠；趕做作業(yè)，不會自學；不重總結(jié)，輕視復習”等等。針對這些問題，提出了相應的數(shù)學學法指導的途徑和方法，如數(shù)學全程滲透式（將學法指導滲透于制訂計劃、課前預習、課堂學習、課后復習、獨立作業(yè)、學習總結(jié)、課外學習等各個學習環(huán)節(jié)之中）；建立數(shù)學學習常規(guī)（課堂常規(guī)———情境美，參與高，求卓越，求效率；課后常規(guī)———認真讀書，整理筆記，深思熟慮，勇于質(zhì)疑；作業(yè)常規(guī)———先復習，后作業(yè)，字跡清楚，表述規(guī)范，計算正確，填好《作業(yè)檢測表》，重做錯題）等等。誠然，這對于端正學習態(tài)度、養(yǎng)成學習習慣、提高學業(yè)成績、優(yōu)化學習品質(zhì)，采勸對癥下藥”的策略，開展對學習常規(guī)的指導，無疑會收到較好的效果。但是，數(shù)學學習方法的指導，決不能忽視數(shù)學所特有的學習方法的指導。可以說，這才是數(shù)學學法指導之內(nèi)核和要害。也就是說，數(shù)學學法指導應該著重指導學生學會理解數(shù)學知識、學會解決數(shù)學問題、學會數(shù)學地思維、學會數(shù)學交流、學會用數(shù)學解決實際問題等。有鑒于此，筆者主要從“數(shù)學”、“數(shù)學學習”出發(fā)，來闡釋數(shù)學學習方法，論述數(shù)學學法指導。

    二、從數(shù)學的角度出發(fā)，就是要考察。關(guān)數(shù)學的特點于數(shù)學的特點，雖仍有爭議，但傳統(tǒng)或者說比較科學的提法仍是３條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性。

    1．數(shù)學研究的對象本來是現(xiàn)實的，但由于數(shù)學僅從空間形式與數(shù)量關(guān)系方面來反映客觀現(xiàn)實，所以數(shù)學是逐級抽象的產(chǎn)物。比如三角形形狀的實物模型隨處可見，多種多樣，名目繁多，但數(shù)學中的“三角形”卻是一種抽象的思維形式（概念），撇開了人們常見的各種三角形形狀實物的諸多性質(zhì)（如天然屬性、物理性質(zhì)等）。因此，學習數(shù)學首當其沖的是要學習抽象。而抽象又離不開概括，也離不開比較和分類，可以說比較、分類、概括是抽象的基礎(chǔ)和前提。比如，要從已經(jīng)過抽象得出的物體運動速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、產(chǎn)品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金屬加熱引起的長度變化ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函數(shù)ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，顯然要經(jīng)過比較（它們的異同）和概括（它們的共同特征）。根據(jù)數(shù)學高度抽象性的特點，數(shù)學學法指導要強調(diào)比較、分類、概括、抽象等思維方法的指導。

    2．數(shù)學結(jié)論的可*性有其嚴格的要求，觀察和實驗不能作為論證的依據(jù)和方法，而是要經(jīng)過邏輯推理（表現(xiàn)為證明或計算），方能得以承認。比如，“三角形內(nèi)角和為１８０°”這個結(jié)論，通過測量的方法是不能確立的，唯有在歐氏幾何體系中經(jīng)過數(shù)學證明才能肯定其正確性（確定性）。在數(shù)學中，只有通過邏輯證明和符合邏輯的計算而得到的結(jié)論，才是可*的。事實上，任何數(shù)學研究都離不開證明和計算，證明和計算是極其主要的數(shù)學活動，而通常所說的“數(shù)學思想方法往往是數(shù)學中證明和計算的方法。探求數(shù)學問題的解法也就是尋找相應的證明或計算的具體方法。從這一點上來說，證明或計算是任何一種數(shù)學思想方法的組成部分，又是任何一種數(shù)學思想方法的目標和表述形式”。又由于證明和計算主要依*的是歸納與演繹、分析與綜合，所以根據(jù)數(shù)學邏輯的嚴謹性特點，數(shù)學學法指導要重視歸納法、演繹法、分析法、綜合法的指導。

    3．由于任何客觀對象都有其空間形式和數(shù)量關(guān)系，因而從理論上說以空間形式與數(shù)量關(guān)系為研究對象的數(shù)學可以應用于客觀世界的一切領(lǐng)域，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數(shù)學。應用數(shù)學解決問題，不但首先要提出問題，并用明確的語言加以表述，而且要建立數(shù)學模型，還要對數(shù)學模型進行數(shù)學推導和論證，對數(shù)學結(jié)果進行檢驗和評價。也就是說，數(shù)學之應用，它不僅表現(xiàn)為一種工具，一種語言，而且是一種方法，是一種思維模式。根據(jù)數(shù)學應用的廣泛性特點，數(shù)學學法指導還要指導學生建立和操作數(shù)學模型，以及進行檢驗和評價。

    三從數(shù)學學習的角度出發(fā)，就是要通過對數(shù)學學習過程的考察，引申出數(shù)學學法指導的內(nèi)容和策略。關(guān)于數(shù)學學習的過程，比較新穎的觀點是：“在原有行為結(jié)構(gòu)與認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，或是將環(huán)境對象納入其間（同化），或是因環(huán)境作用而引起原有結(jié)構(gòu)的改變（順應），于是形成新的行為結(jié)構(gòu)與認知結(jié)構(gòu)，如此不斷往復，直到達成相對的適應性平衡”。通過對這一認識的分析和理解，就數(shù)學學法指導而言，可概括出以下３點：

    1．行為結(jié)構(gòu)既是學習新知的目的和結(jié)果，又是學習新知的基礎(chǔ)，因而在數(shù)學教學中亦需注重外部行為結(jié)構(gòu)形成的指導。由于這種外部行為主要包括外部實物操作和外部符號（主要是語言）活動，所以在數(shù)學學法指導中，一要重視學具的操作（可要求學生盡可能多地制作學具，操作學具）；二要重視學生的言語表達（給學生盡可能多地提供言語交流的機會，可以是教師與學生間的交流，也可以是學生與學生之間的交流）。

    2．認知結(jié)構(gòu)同樣既是學習新知的目的和結(jié)果，也是學習新知的基礎(chǔ)，故而數(shù)學教學要加強數(shù)學認知結(jié)構(gòu)形成的指導。所謂數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，是指學生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)按自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維等認知特點，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。因此，對于學生形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的指導，關(guān)鍵在于不斷地提高所呈現(xiàn)的數(shù)學知識和經(jīng)驗的結(jié)構(gòu)化程度。在數(shù)學學法指導中，須注意如下幾點：①加強數(shù)學知識間聯(lián)系的教學。無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應用，尤其是知識的復習和整理，都要從知識間的聯(lián)系出發(fā)。②重視數(shù)學思想的挖掘和滲透。由于數(shù)學思想是對數(shù)學的本質(zhì)的認識，因而數(shù)學思想是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)建立的基礎(chǔ)。常見的數(shù)學思想有：符號思想、對應思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重數(shù)學方法的明晰教學。數(shù)學方法作為解決問題的手段，是建立數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的橋梁。常見的數(shù)學方法有：化歸法、構(gòu)造法、參數(shù)法、變換法、換元法、配方法、反證法、數(shù)學歸納法等

    3．在原有行為結(jié)構(gòu)與認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，無論是通過同化，還是通過順應來獲得新知，必須是在一種學習機制的作用下方能實現(xiàn)。而這種學習機制主要就是對學習新知過程的監(jiān)控和調(diào)節(jié)，即所謂的元學習。實質(zhì)上，能否會學，關(guān)鍵就在于這種學習是否建立起來。于是，元學習的指導又成為數(shù)學方法指導的重要內(nèi)容。為此，在數(shù)學學法指導中，需要注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數(shù)學活動方式的概括，如遇到一個數(shù)學證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數(shù)學理論或技能的應用背景和條件的概括，如掌握換元法的具體步驟，獲得換元技能，懂得在什么條件下應用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學生了解影響數(shù)學學習（數(shù)學認知）的各種因素。比如，學習材料的呈現(xiàn)方式是文字的、字母的，還是圖形的；學習任務是計算、證明，還是解決問題，等等。這些學習材料和學習任務方面的因素，都對數(shù)學學習產(chǎn)生影響。③要充分揭示數(shù)學思維的過程。比如，揭示知識的形成過程、思路的產(chǎn)生過程、嘗試探索過程和偏差糾正過程。④幫助學生進行自我診斷，明確其自身數(shù)學學習的特征。比如：有的學生擅長代數(shù)，而認知幾何較差；有的學生記憶力較強而理解力較弱；還有的學生口頭表達不如書面表達等。⑤指導學生對學習活動進行評價。如評價問題理解的正確性、學習計劃的可行性、解題程序的簡捷性、解題方法的有效性等諸多方面。⑥幫助學生形成自我監(jiān)控的意識。如監(jiān)控認知方向意識、認知過程意識和調(diào)節(jié)認知策略意識等等。

    四根據(jù)數(shù)學內(nèi)容的性質(zhì)，數(shù)學教學一般可分為概念教學、命題（主要有定理、公式、法則、性質(zhì)）教學、例題教學、習題教學、總結(jié)與復習等5類。相應地，數(shù)學學法指導的實施亦需分別落實到這５類教學之中。這里僅就例題教學中如何實施數(shù)學學法指導談談自己的認識。

    1．根據(jù)學生的學情安排例題。如前所述，學習新知必須建立在已有的基礎(chǔ)之上，從內(nèi)容上講，這個基礎(chǔ)既包括知識基礎(chǔ)，又包括認知水平和認知能力，還包括學習興趣、認知意識，乃至學習態(tài)度等有關(guān)學習動力系統(tǒng)方面的準備。因此，無論是選配例題，還是安排例題，都要考慮到學生的學習情況，尤其是要考慮激發(fā)學生認知興趣和認知需求的原則（稱之為動機原則）。在例題選配和安排中，可采取增、刪、調(diào)的策略，力求既突出重點，又符合學生的學情。所謂增，即根據(jù)學生的認知缺陷增補鋪墊性例題，或者為突破某個難點增加過渡性例題。所謂刪，即根據(jù)學生情況，刪去比較簡單的例題或要求過高的難題。所謂調(diào)，即根據(jù)學生的實際水平，將后面的例題調(diào)至前面先教，或者將前面的例題調(diào)到后面后教。

    2．根據(jù)學習目標和任務精選例題。例題的作用是多方面的，最基本的莫過于理解知識，應用知識，鞏固知識；莫過于訓練數(shù)學技能，培養(yǎng)數(shù)學能力，發(fā)展數(shù)學觀念。為發(fā)揮例題的這些基本作用，就要根據(jù)學習目標和任務選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個知識點、某項數(shù)學技能、某種數(shù)學能力等重點內(nèi)容而增補強化性例題，或者根據(jù)聯(lián)系社會發(fā)展的需要，增加補充性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過時的例題。所謂并，即為突出某項內(nèi)容把單元內(nèi)前后的幾個例題合并為一個例題，或者為突出知識間的聯(lián)系打破單元界限而把不同內(nèi)容的例題綜合在一起。

    3．根據(jù)解題的心理過程設計例題教學程序。按照波利亞的解題理論，一般把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧等４個階段。這是針對解題過程本身而言的。但就解題教學來說，還應當增加一個步驟，也是首要環(huán)節(jié)，即要使學生“進入問題情境”，讓學生產(chǎn)生一種認知的需要。對于“進入問題情境”環(huán)節(jié)，要求教師用簡短的語言，在承上啟下中，提出學習目標，明確學習任務，激起認知沖突。而對其余４個環(huán)節(jié)，教師的行為可按波利亞的“怎樣解題表”中的要求去構(gòu)思。一般教師和學生都能夠注意做到做好前３個環(huán)節(jié)，卻容易忽視“回顧”環(huán)節(jié)。嚴格說來，回顧環(huán)節(jié)對解題能力的提高，對例題教學目的的實現(xiàn)起著不可替代的作用。對回顧環(huán)節(jié)來講，除波利亞提出的幾條以外，更為主要的是對解題方法的概括和反思，并使其能遷移到其它問題的解決之中。

    4．根據(jù)數(shù)學方法指導的目的和內(nèi)容適度調(diào)整例題。通常，人們根據(jù)問題的條件（Ａ）、解決的過程（Ｂ）及問題的結(jié)論（Ｃ）的情況把數(shù)學題劃分為標準題和非標準題兩大類：如果條件和結(jié)論都明確，學生也熟知解題過程（即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），這種題為標準題（記為ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中缺少一個或兩個要素的題則為非標準題。如果分別用Ｘ、Ｙ、Ｚ表示對應于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，則非標準題的題型（計６種）可表示為：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。數(shù)學教材中的例題大多數(shù)是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和極少數(shù)的ＡＹＺ型。由于數(shù)學學法指導的一項重要任務是教學生會抽象、概括、歸納、演繹，會數(shù)學地思考和交流，會分析問題和解決問題，因而例題教學要特別注重教材中缺少的幾種類型題的教學。其中最為重要的是“開放性題”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例題中，Ｚ不唯一）和“數(shù)學問題解決”中所指出的“數(shù)學應用題”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主題是數(shù)學以外的內(nèi)容）。對于“開放性題”，由于它的結(jié)論不唯一，對培養(yǎng)學生數(shù)學思維有著至關(guān)重要的作用。對于“數(shù)學應用題”，則由于它的解決要用數(shù)學模型法，因而對培養(yǎng)學生運用分析問題和解決問題的方法是十分重要的。從數(shù)學學法指導的角度來說，適度調(diào)整例題很有必要。調(diào)整的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點有關(guān)的“開放性題”和“數(shù)學應用題”。

    5．注重對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點外，例題教學還具有傳授新知識，積累數(shù)學經(jīng)驗，完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu)