從笛卡爾到龐加萊——法國(guó)數(shù)學(xué)的人文主義傳統(tǒng)

　　在德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的一部傳記中，作者引用了下面這段話：
　　
　　有一個(gè)異鄉(xiāng)人在巴黎問(wèn)當(dāng)?shù)厝耍?ldquo;為什么貴國(guó)歷史上出了那么多偉大的數(shù)學(xué)家？”
　　
　　巴黎人回答，“我們最優(yōu)秀的人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。”
　　
　　又去問(wèn)法國(guó)數(shù)學(xué)家，“為什么貴國(guó)的數(shù)學(xué)一直享譽(yù)世界呢？”
　　
　　數(shù)學(xué)家回答，“數(shù)學(xué)是我們傳統(tǒng)文化中最優(yōu)秀的部分。”
　　
　　笛卡爾以前的法國(guó)數(shù)學(xué)
　　
　　在中世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)的成就主要是在一些文明古國(guó)取得的，例如埃及、美索不達(dá)米亞、中國(guó)、印度和阿拉伯，當(dāng)然還有希臘�？梢钥隙ǖ氖牵�如果沒(méi)有希臘人的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)就不會(huì)像現(xiàn)在這樣豐富多彩。而在長(zhǎng)達(dá)一千多年的中世紀(jì)里，整個(gè)歐洲似乎只有一個(gè)堪稱偉大的數(shù)學(xué)家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在數(shù)學(xué)王國(guó)里發(fā)出光輝。歐洲之外，最有名的數(shù)學(xué)家當(dāng)數(shù)巴格達(dá)的花拉子密，正是他命名了代數(shù)學(xué)，在阿拉伯語(yǔ)里，al-jabr意為還原移項(xiàng)，譯成拉丁文后就成了algebra，這也是今天英文里的代數(shù)學(xué)。
　　
　　14世紀(jì)是歐洲黑死病流行的時(shí)期，毀滅了將近四分之一的人口，數(shù)學(xué)上取得的成績(jī)也非常可憐。但疾病和戰(zhàn)爭(zhēng)有時(shí)候會(huì)改變文明的格局，法蘭西開(kāi)始嶄露頭角，逐漸走在世界文明的前列。這個(gè)世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家被認(rèn)為是法國(guó)人奧雷斯姆，他寫(xiě)過(guò)五部數(shù)學(xué)書(shū)，和他的譯文一樣文筆優(yōu)美，為科學(xué)修辭和法國(guó)散文作出了貢獻(xiàn)。奧雷斯姆第一個(gè)使用了分?jǐn)?shù)指數(shù)，第一個(gè)用坐標(biāo)確定了點(diǎn)的位置，這預(yù)示了現(xiàn)代坐標(biāo)幾何學(xué)，影響了包括笛卡爾在內(nèi)的諸多數(shù)學(xué)家。
　　
　　15世紀(jì)開(kāi)始了歐洲的文藝復(fù)興，可是數(shù)學(xué)進(jìn)展仍然不大，其時(shí)最杰出的數(shù)學(xué)家是法國(guó)人丘凱，16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家也是法國(guó)人。他的名字叫韋達(dá)。法國(guó)人的數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興之初已達(dá)到世界先進(jìn)水平，正是在那個(gè)時(shí)期，（現(xiàn)今的）初等數(shù)學(xué)基本上羽翼豐滿了。同時(shí)，這也為近代數(shù)學(xué)和科學(xué)的全面發(fā)展奠定了相對(duì)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
　　
　　笛卡爾和天才的世紀(jì)
　　
　　在笛卡爾出生以前，意大利人在世界文明的進(jìn)程中走在最前列，他們?cè)跀?shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域也處于領(lǐng)先地位，塔爾塔里亞（口吃者）與卡爾達(dá)諾在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他們兩人的成就合起來(lái)不低于同時(shí)代的法國(guó)人韋達(dá)�？墒�，這兩位同胞數(shù)學(xué)家卻相互控告對(duì)方剽竊，結(jié)果弄得兩敗俱傷。1564年出生的伽利略一直在意大利的兩所大學(xué)任數(shù)學(xué)教授，他發(fā)明的扇形圓規(guī)通用了兩個(gè)世紀(jì)，同時(shí)對(duì)拋物線性質(zhì)和無(wú)限集的等價(jià)概念有了正確的理解，他的數(shù)學(xué)天才和直覺(jué)幫助其建立起了自由落體的力學(xué)定律。他用自制望遠(yuǎn)鏡觀察宇宙，證實(shí)了哥白尼的太陽(yáng)系理論，卻不幸遭到羅馬教會(huì)的迫害，含冤而死。
　　
　　和大多數(shù)天才人物一樣，笛卡爾也出生在小地方。他小時(shí)母親病故，身體羸弱，已另娶妻的父親把他交給外婆撫養(yǎng)，后來(lái)又送他進(jìn)拉弗萊什的一所教會(huì)學(xué)校。幸虧校長(zhǎng)極有人文修養(yǎng)，看出這個(gè)孩子心智和身體上的差異，要他先增強(qiáng)體質(zhì)。校長(zhǎng)告訴小笛卡爾，除非想去教室和別的同學(xué)們?cè)谝黄�，否則不必離開(kāi)自己的房間。從那以后，笛卡爾終身保持了晚起的習(xí)慣，包括他在部隊(duì)當(dāng)兵時(shí)，當(dāng)他需要思考問(wèn)題時(shí)，就躺在床上冥思苦想。盡管笛卡爾身體虛弱并愛(ài)睡懶覺(jué)，卻是個(gè)勇敢的軍人，并曾被授予中將軍銜，但被他拒絕。
　　
　　笛卡爾在數(shù)學(xué)上的主要成就是創(chuàng)立了一門(mén)數(shù)學(xué)分支——解析幾何，同時(shí)他又被黑根爾贊譽(yù)為“近代哲學(xué)之父”。作為一個(gè)二元論者，笛卡爾明確地把心靈和肉體區(qū)分開(kāi)來(lái)，其中心靈的作用如同其著名的哲學(xué)命題所表達(dá)的——“我思，故我在”。而在方法論上，笛卡爾則是一個(gè)徹頭徹尾的懷疑主義者，對(duì)他來(lái)說(shuō)，懷疑是一種必要的手段，是哲學(xué)和心理學(xué)方法中的一個(gè)工具。笛卡爾認(rèn)為，我們從童年時(shí)代起就接受了許多偏見(jiàn)，如果得不到及時(shí)糾正，會(huì)持續(xù)到成年，他進(jìn)一步指出，“懷疑是一門(mén)藝術(shù)，它使我們脫離感覺(jué)的影響獲得解放。”
　　
　　在笛卡爾時(shí)代，他在數(shù)學(xué)上有好幾位競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手。例如，畢生居住在法國(guó)南方山區(qū)小城圖盧茲的法官費(fèi)爾馬，他有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美號(hào)。今天我們大家都知道“費(fèi)爾馬大定理”，它是畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）的推廣和提升，雖然結(jié)論截然相反。直到上個(gè)世紀(jì)末，這個(gè)定理才被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯最后證明了。據(jù)說(shuō)在笛卡爾生前，他經(jīng)常接到費(fèi)爾馬的挑戰(zhàn)，例如宣布發(fā)現(xiàn)某某數(shù)學(xué)規(guī)律卻不告之證明方法，這些挑戰(zhàn)有的是以書(shū)面的形式提出，有的是通過(guò)一位叫梅森的神甫傳達(dá)。說(shuō)起這個(gè)梅森神甫，雖然算不上是偉大的數(shù)學(xué)家（僅以梅森素?cái)?shù)命名），卻是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)不可或缺的人物。還有一位是帕斯卡爾，據(jù)說(shuō)帕斯卡爾12歲那年，從未受過(guò)相關(guān)訓(xùn)練的他獨(dú)自推導(dǎo)出了幾何學(xué)中的一條定理，即三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角之和。從那以后，父親才開(kāi)始教授兒子歐幾里德幾何，不久父子倆一同參加了梅森神甫組織的數(shù)學(xué)沙龍。帕斯卡爾的主要數(shù)學(xué)成就包括概率論的創(chuàng)立（與費(fèi)爾馬合作）、二項(xiàng)式系數(shù)和射影幾何學(xué)中的帕斯卡爾定理（圓錐曲線的內(nèi)接六邊形三組對(duì)邊的交點(diǎn)共線）。
　　
　　除了數(shù)學(xué)上的成就以外，帕斯卡爾還發(fā)明了計(jì)算機(jī)（初衷是為了幫助父親進(jìn)行稅務(wù)方面的計(jì)算）、流體壓力定律（水壓機(jī)便是這個(gè)定律的一個(gè)應(yīng)用），計(jì)算機(jī)中的帕斯卡爾語(yǔ)言和天氣預(yù)報(bào)中的大氣壓強(qiáng)單位帕均取自他的姓名。而在人文和哲學(xué)領(lǐng)域，帕斯卡爾取得了同樣非凡的成就。他的散文作品《思想錄》被公認(rèn)為是所有法國(guó)文學(xué)中的珍品，在宗教方面，他宣揚(yáng)可以通過(guò)心靈而不是通過(guò)理性來(lái)體驗(yàn)上帝的教義，他建立的直覺(jué)主義原理對(duì)于后來(lái)盧梭、實(shí)用主義和存在主義哲學(xué)家都有影響。
　　
　　在達(dá)到盛名之后，帕斯卡爾和笛卡爾不約而同地選擇了隱居生活。笛卡爾說(shuō)過(guò)，“我只要求安寧和平靜”相比笛卡爾和帕斯卡爾的多才多藝，費(fèi)爾馬把自己的聰明才智全部奉獻(xiàn)給了數(shù)論。這當(dāng)然與費(fèi)爾馬有著自己的職業(yè)、需要養(yǎng)家糊口有關(guān)，但我認(rèn)為更重要的是，費(fèi)爾馬與高斯、歐拉這三個(gè)對(duì)數(shù)論有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他們已經(jīng)從數(shù)論之美中獲得了滿足，因此不怎么需要尋求諸如藝術(shù)、哲學(xué)或宗教的滋養(yǎng)。從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代人們就沉湎于發(fā)現(xiàn)數(shù)的神秘關(guān)系，優(yōu)美、簡(jiǎn)潔、智慧是這門(mén)科學(xué)的特點(diǎn)。記得希爾伯特的傳記作者在談到大師放下代數(shù)不變量理論轉(zhuǎn)向數(shù)論研究時(shí)寫(xiě)到，“數(shù)學(xué)中沒(méi)有一個(gè)領(lǐng)域能夠像數(shù)論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量——吸引著數(shù)學(xué)家中的精華。”畫(huà)家康定斯基也認(rèn)為：“數(shù)是各類藝術(shù)最終的抽象表現(xiàn)。”
　　
　　從費(fèi)爾馬到龐加萊
　　
　　自從費(fèi)爾馬于1665年去世后，法國(guó)數(shù)學(xué)界有半個(gè)世紀(jì)的沉寂，之后從17世紀(jì)20年代開(kāi)始，接連誕生了一批數(shù)學(xué)大師，幾乎每隔七八年就有一位，他們中的每一個(gè)都成就非凡，如果放在其他國(guó)家里，都可能成為該國(guó)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。而法國(guó)人也是以此為傲，其中的七位數(shù)學(xué)家，分別是達(dá)蘭貝爾、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、蓬斯萊、柯西和伽羅瓦。
　　
　　“在天才的伽羅瓦去世二十多年以后，法國(guó)又誕生了一位大數(shù)學(xué)家，他就是新近因?yàn)橐云涿�字命名的猜想獲得解決而重新引起全球公眾矚目的龐加萊，他的才華和成就橫跨了科學(xué)與人文兩大領(lǐng)域。龐加萊被認(rèn)為是通曉全部數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的最后一個(gè)人，他涉足的研究領(lǐng)域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。
　　
　　龐加萊出生在法國(guó)東北部小城南錫，父親是一位著名的醫(yī)生。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識(shí)極為迅速，同時(shí)擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導(dǎo)，卻不幸在五歲時(shí)患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語(yǔ)表達(dá)思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書(shū)的速度也十分驚人，且能準(zhǔn)確持久地記住讀過(guò)的內(nèi)容。小龐加萊擅長(zhǎng)的科目包括文學(xué)、歷史、地理、自然史和博物學(xué)，他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣來(lái)得比較晚，大約開(kāi)始于15歲，不過(guò)很快顯露出非凡的才華。不久，他被保送到巴黎綜合工科學(xué)校（就是伽羅瓦兩次報(bào)考未被錄取的大學(xué)），開(kāi)始了他的數(shù)學(xué)生涯。
　　
　　龐加萊的哲學(xué)著作包括《科學(xué)與假設(shè)》、《科學(xué)的價(jià)值》和《科學(xué)方法論》，他是唯心主義約定論哲學(xué)的代表人物，認(rèn)為公理可以在一切可能的約定中進(jìn)行選擇，但需以實(shí)驗(yàn)事實(shí)為依據(jù)，避開(kāi)一切矛盾。正是由于這些成就的取得才使他既當(dāng)選為法蘭西科學(xué)院的院士（后成為院長(zhǎng)），又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院的院士，他同時(shí)處身于科學(xué)和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術(shù)家和科學(xué)家之間創(chuàng)造力的共性，相信“只有通過(guò)科學(xué)與藝術(shù)，文明才體現(xiàn)出價(jià)值”。
　　
　　中國(guó)有望成為真正的數(shù)學(xué)大國(guó)
　　
　　需要指出的是，本文提到的半數(shù)法國(guó)數(shù)學(xué)家與巴黎綜合工科學(xué)校結(jié)緣，而另一座同樣誕生于法國(guó)大革命期間、校名也同樣謙遜的巴黎高等師范學(xué)校則在上個(gè)世紀(jì)培養(yǎng)了八位菲爾茲獎(jiǎng)得主�？梢哉f(shuō)，正是笛卡爾以降法國(guó)數(shù)學(xué)家擁有的人文素養(yǎng)，使得數(shù)學(xué)在法國(guó)長(zhǎng)盛不衰。值得一提的是，這一良好的氛圍也熏陶了滯留巴黎的德國(guó)人萊布尼茨，他從一個(gè)肩負(fù)外交使命的秘密使臣一躍成為大數(shù)學(xué)家和大哲學(xué)家，他那轟動(dòng)一時(shí)的微積分學(xué)便是在巴黎期間發(fā)明的。萊布尼茨的出現(xiàn)標(biāo)志著德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同時(shí)也使得法國(guó)數(shù)學(xué)又多了一個(gè)強(qiáng)有力的競(jìng)爭(zhēng)者。而布爾巴基學(xué)派的誕生，便是迫于德國(guó)數(shù)學(xué)后來(lái)居上的壓力和形勢(shì)之下。
　　
　　反觀中國(guó)，雖說(shuō)西漢時(shí)期有了《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，南朝時(shí)祖沖之對(duì)圓周率的估算領(lǐng)先世界一千多年，卻限于實(shí)用性的計(jì)算而忽視公理化建設(shè)和理論推導(dǎo)。近代以來(lái)，由于缺乏對(duì)外交流，中國(guó)和整個(gè)東方數(shù)學(xué)未跟上時(shí)代的腳步。等到國(guó)門(mén)重開(kāi)，終于意識(shí)到自己的落后，擺在我們面前的困難重重。這里面當(dāng)然有機(jī)制和學(xué)風(fēng)的因素，不過(guò)我相信，如果我們的數(shù)學(xué)工作者年輕時(shí)多一些人文修養(yǎng)，盛年之后能把一部分精力轉(zhuǎn)向哲學(xué)思考或研究，及時(shí)探討數(shù)學(xué)的未來(lái)和外延。如同本文引言所說(shuō)的，把數(shù)學(xué)看成是傳統(tǒng)文化的一部分，而不是作為敲門(mén)磚或謀取名利的手段，我們的數(shù)學(xué)事業(yè)就會(huì)興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)研究和人才培養(yǎng)就會(huì)成為一種有序的制度，中國(guó)也有望成為真正的數(shù)學(xué)大國(guó)。